Лекции XX

УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Дифференциальные уравнения равновесия

Пусть - произвольный объем тела, ограниченный замкнутой поверхностью .

Вектор массовых сил, отнесенный к единичному объему обозначим , а вектор поверхностных сил, действующих на единичную площадь , где

- нормаль к поверхности в данной точке.

Главный вектор внешних сил, действующих на тело, состоящий из главного вектора объемных вил равен нулю:

. Спроектируем это равенство на ось

Используя эти формулы получим

С помощью формулы Грина- Остроградского преобразуем поверхностный интеграл к объемному ,

т.к. условия равновесия должны соблюдаться для любого объема, то подинтегральная функция должна быть равной нулю в любой точке тела. Аналогичным образом проектируя векторное равенство на оси и получим систему дифференциальных уравнений равновесия.

Деформированное состояние в точке

Деформированное состояние в точке определяется тензором деформации, т. е. удлинение в данной точке по любому направлению может быть вычислено, если заданы удлинения по трем взаимно перпендикулярным осям и углы сдвига по трем взаимно перпендикулярным площадкам, нормалями к которым служат оси.

Тензор деформаций выглядит

Здесь - деформации относительного удлинения в направлении соответствующих осей.

,…, - углы сдвига в соответствующих координатных плоскостях.

Связь между компонентами тензора деформаций и перемещениями (соотношения Коши).

Р ассмотрим малый элемент, который в процессе деформации изменит свою конфигурацию. На рисунке показана одна из граней, совпадающая с плоскостью осей и .

аналогично

Угол сдвига это угол на который изменится первоначально прямой угол, т. е.

Аналогично определятся и другие компоненты тензора деформаций. Соотношение Коши.

; ;

Шесть компонентов тензора деформаций выражаются через три

компонента вектора перемещений. Отсюда следует, что компоненты тензора деформаций не являются независимыми. И в самом деле они связаны соотношениями называемыми уравнениями совместности деформаций.

Условием совместности деформаций можно придать следующий смысл. Разрежем тело на малые элементы, деформируем каждый из элементов в отдельности и соберем из деформируемых элементов тело. Тогда, если деформации правильные, т.е. удовлетворяющие уравнениям совместности, то собранное тело не будет иметь разрывов и пустот.

Обобщенный закон Гука

Будем основываться на известном нам законе Гука для одноосного напряженного состояния и

принципе независимости действия сил

Обратим внимание на такой факт, что с точностью до малых высшего порядка, нормальные напряжения не вызывают сдвигов, в свою очередь касательные напряжения не вызывают удлинений.

Рассмотрим малый элемент.

Используя принцип действия независимости сил

1. Пусть действует только напряжение ;

т огда ;

тогда

;

; тогда

2. 

При совместном действии всех трех напряжений

К этим уравнениям можно добавить еще три соотношения

Три дифференциальных уравнения равновесия, шесть соотношений Коши и шесть соотношений обобщенного закона Гука составляют систему уравнений теории упругости, в которых неизвестными будут шесть -компоненты тензора напряжений, шесть- компоненты тензора деформаций и три компоненты перемещения.