Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения
Характер выпученной мембраны и характер распределения напря-
жений показан на следующих рисунках.
М
аксимальные
касательные напряжения возникают
посредине длинной стороны.
и
-соответственно геометрические
характеристики прочности и жесткости
прямоугольного поперечного сечения.
где
–меньшая
сторона сечения
и
-
коэффициенты, зависящие от соотношения
сторон (из таблиц).
Фрагмент таблицы
|
1
|
… |
1,5 |
… |
2 |
3 |
… |
10 |
|
|
0,208 |
|
0,231 |
|
0,246 |
0,267 |
|
0,313 |
0,333 |
|
0,141 |
|
0,196 |
|
0,229 |
0,263 |
|
0,313 |
0,333 |
|
1 |
|
0,859 |
|
0,795 |
0,753 |
|
0,742 |
0,742 |
Кручение тонкостенных стержней открытого профиля.
Характер распределения напряжений показан на рисунке.
Наибольшие касательные на-пряжения возникают в тех местах, где толщина сечения наибольшая. Если толщину сечения на отдельных участках можно считать постоянной, то максимальные каса-
тельные
напряжения равны
,
где
- геометрическая
характеристика жесткости.
-
максимальная толщина сечения.
Кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля.
С
опоставим
поведе-ние аналогичных сечений открытого
и замкнутого профиля при кручении. Как
видим, у стержней замкнутого профиля
касательные напряжения возникают в тех
местах где толщина сечения минимальна.
- площадь, ограниченная
срединной линией сечения.
-
минимальная толщина сечения.
Г
еометрическая
характеристика жесткости определяется
следующим образом
где интеграл берется по контуру сечения.
Очевидно, что объем, ограниченный выпученной пленкой значительно больше, чем в случае сечения открытого профиля. Сечение замкнутого профиля может воспринять гораздо больший крутящий момент, чем аналогичное сечение открытого профиля.
Лекции хvii Статически неопределимые системы, работающие на кручение
Стержень, имеющий две заделки, статически неопределим. Расчет подобных систем аналогичен расчету стержня с заделанными концами на растяжение – сжатие. Только в данном случае, составляя уравнение
совместности деформаций вводят в рассмотрение угловые перемеще-
ния,
определяемые по формуле
Если стержень нагружен сосредоточенными моментами, то крутящий момент на отдельных участках стержня постоянен.
-геометрическая характеристика жесткости для круглых стержней,
-для некруглых
сечений. Величину
называют крутиль
ной жесткостью. Примеры.
Лекции XVIII
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
В
спомним,
как нами было введено понятие напряжения.
Рассмотрим тело, находящееся под
действием уравновешенных сил.
Б
удем
исследовать внутренние силы в малой
области, окружающие точку
,
для чего проведем через данную точку
сечение, рассекая тело на две части, и
отбросим одну из них. Действие отброшенной
части заменим внутренними силами.
Выделим малую
площадку
,
содержащую точку
.
Внешнюю нормаль этой точке обозначим
.
Результирующую
внутренних сил, действующих на площадку
,
обозначим
.
Деля равнодействующую
на
получим
величину среднего напряжения по площадке:
.
Величина
зависит от размера площадки.
Чтобы
избавиться от размеров площадки
,
перейдем к пределу и будем стягивать
площадку к точке
.
Величину
будем
называть полным напряжением в точке
по площадке с внешней нормалью
.
Совершенно очевидно, что если мы выберем другую площадку, проходящую через точку , но ориентированную другим образом. то в общем случае вектор напряжения окажется иным.
Совокупность всех векторов полного напряжения по всем площадкам, проходящим через данную точку составляет напряженное состояние в данной точке.
Н
апряженное
состояние в данной точке известно, если
известны напряжения по трем взаимно
перпендикулярным площадкам, проходящим
через данную точку.
Докажем это важнейшее положение.
Нас интересует напряженное состояние в точке. Выделим в окрестности этой точки малый прямоугольный параллелепипед.
Размеры параллелепипеда
настолько малы, что напряженное состояние
в пределах параллелепипеда можно считать
однородным, и что грани параллелепипеда
являются площадками, проходящими через
точку
и имеющими внешними нормалями оси
.
Полное напряжение
можно разложить на три составляющие,
направленные по координатным осям.
Всего будем иметь 9 компонентов
напряженного состояния: три нормальных
и шесть касательных напряжений.
Нормальные напряжения обозначим
и
припишем индекс, указывающий внешнюю
нормаль.
Например
-
нормальное напряжение по площадке с
внешней нормалью
.
Касательные
напряжения обозначаются
с
двумя индексами. Первый индекс указывает
площадку, второй – направление напряжения.
Например:
-
касательное напряжение по площадке с
внешней
нормалью
,
параллельное оси
.
Нормально напряжение считается положительными, если при положительной внешней нормали они направлены в сторону положительных координатных осей.
Совершенно очевидно, что по противоположным граням параллелепипеда действуют равные по величине и противоположные по направлению напряжения.
Заметим, что хотя на рисунке компоненты напряженного состояния показаны в виде векторов, они являются величинами скалярными.
Докажем, что касательные напряжения по взаимно перпендикулярным площадкам равны. Так как тело, из которого вырезан элементарный параллелепипед, находится в равновесии, то условия равновесия применимы и к элементу объема. Запишем условие, что сумма моментов всех сил, приложенных к элементарному параллелепипеду относительно координатных осей равны нулю.
Раскроем первое из этих уравнений
откуда
,
т. е. закон парности касательных
напряжений.
Два других уравнения
дадут равенство:
.
Таким образом, независимых составляющих
6.
А теперь докажем положение, что зная напряжения, действующие по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам, можно определить напряжения по любой площадке, проходящей через данную точку.
В
ырежем
в окрестности исследуемой точки
элементарный тетраэдр с бесконечно
малыми ребрами. Три грани тетраэдра
параллельны координатным плоскостям,
а четвертая наклонна к первым трем и ее
внешняя нормаль
.
Напряжения,
возникающие
по площадкам с внешними нормалями считаем неизвестными.
Нужно найти полное
напряже-ние по площадке с внешней
нормалью
.
Составляющие полного напряжения,
направленные по координатным осям
обозначим
.
Направляющие, конуcы, нормали обозначим:
Если принять
площадь грани
,
то площади остальных граней
;
;
Составим уравнение равновесия для тетраэдра
Используя также
условия
и
Получаем следующие соотношения
Совокупность 6 компонентов напряженного состояния (2) составляет тензор напряжений. Зная тензор напряжений (2), можно с помощью соотношений (4) определить напряжения по любой площадке в данной точке.
Величина полного
напряжения определяется
Д
ля
того, чтобы определить нормальное
напряжение по площадке с внешней нормалью
,
надо спроецировать на нормаль.
Составляющие
полного напряжения
.
Смотреть рисунок.
Подставляя выражения (4) получаем:
Касательное
напряжение определяется
