Уравнение Лапласа.
Рассмотрим осесимметричную оболочку
-
радиус кривизны меридиана.
-
радиус кривизны параллели.
Положение точки на срединной поверхности можно задавать как пересечение двух координатных линий: параллели и меридиан.
Нагрузку будем считать осесимметричной, т.е. постоянной вдоль параллели, и нормальной к срединной поверхности. Такой нагрузкой является гидростатическая нагрузка или давление газа.
Выделим в окрестности произвольной точки А малый элемент и исследуем его равновесие.
В силу осевой симметрии все элементы, находящиеся на одной параллели не испытывают сдвига и в их сечениях возникают только нормальные напряжения:
-
меридиональное,
-
окружное напряжение.
-
интенсивность нагрузки (нагрузка на
единицу площади).
Т.к. углы малые, то
Спроектируем все
силы, действующие на элемент на направление
нормали n:
Учтем, что
тогда имеем:
Это и есть
уравнение Лапласа. Уравнение Лапласа
одно, а содержит оно две неизвестные
величины
и
.
Еще одно уравнение получим, если рассечем оболочку по той па-
раллели, в которой мы исследуем напряжения.
Пусть
– равнодействующая внешней нагрузки,
приложенной к оболочке. В силу осевой
симметрии она направлена по оси
.
П
роектируя
силы, действующие на отсеченную часть,
на ось
получаем
(2)
Определив из (2)
и подставив его выражение в (1), находим
.
Пример 1.
Цилиндрический резервуар, находится под действием внутреннего давления Р. Определить напряжения в цилиндрической части, в местах достаточно удаленных от примыкания днищ.
Оговорка: там, где днище соединяется с цилиндрической частью
радиус кривизны резко изменяется и напряженное состояние не будет
безмоментным.
Рассечем оболочку по цилиндрической части и рассмотрим равновесие отсеченной части.
Равнодействующая
внешних сил, действующая на отсеченную
часть, независимо от формы днища равняется
Проектируя все силы на ось имеем
;
О
братимся
к уравнению Лапласа
;
Главные напряжения в этом случае:
П
ример
2: сферически замкнутый резервуар,
находящийся под действием внутреннего
давления
.
Из условия полной
симметрии
Из уравнения
Лапласа имеем:
;
;
Лекции XXV Расчет толстостенных цилиндров (задача Ляме).
Р
ассмотрим
цилиндр, на соотношение внешнего и
внутреннего радиуса которого не наложено
никаких ограничений. Нагрузку, действующую
на цилиндр (внешнюю или внутреннюю)
будем считать осесимметричной и
постоянной вдоль оси
.
Введем цилиндрические
координаты
.
В силу осевой симметрии цилиндра и
нагрузки напряжения не зависят от
полярного угла
.
По этой же причине выделенный элемент
не испытывает сдвига и по его граням
касательные напряжения
отсутствуют. Таким образом, грани элемента будут главными
площадками.
- радиальные
напряжения;
- окружные напряжения;
- осевые напряжения.
П
оставим
себе задачей установить закон распределения
этих нап-ряжений. Рассмотрим статическую
сторону задачи.
Приложим к элементу, размер которого в направлении оси будем считать единичным, силы, действующие на него и составим уравнение равновесия (сумму проекций на радиус):
Мы получили дифференциальное уравнение равновесия.