Интеграл Мора.

Теорема Кастельяно дала нам возможность определять перемещения. Эту теорему используют для отыскания перемещений в пластинках, оболочках. Однако, вычисление потенциальной энергии громоздкая процедура и мы сейчас наметим более простой и наиболее общий путь определения перемещений в стержневых системах.

П усть задана произвольная стерж-невая система и нам нужно определить в ней перемещение точки по направлению , вызванное всеми силами системы - Т.к. в общем случае в системе нет силы, приложенной по направлению искомого перемещения, то воспользоваться теоремой Кастельяно нельзя. Добавим к числу прочих сил силу , приложенную к точке и действующую в направлении . Тогда внутренние силовые факторы в системе можно выразить , где

-внутренние силовые факторы в системе от действующих сил; - внутренние силовые факторы от силы .

Внесем эти выражения в (3)

По теореме Кастельяно:

Учтя, что получаем выражение:

, называемое интегралом Мора.

Для того, чтобы определить перемещение с помощью метода Мора,

необходимо:

1) Определить внутренние силовые факторы в системе от заданных сил.

2) Приложить по направлению искомого перемещения единичную

обобщенную силу (единичную силу для определения линейного перемещение, пару сил с моментом равным единице для определения углового перемещения и определить внутренние силовые факторы от единичной силы.

3) Подставить полученные ранее выражения в интеграл Мора и определить перемещение.

Для систем, работающих на изгиб: балок, рам, влияние нормальных сил на величину перемещения незначительно и интеграл Мора в этом случае выглядит: Пример.

Лекция IX Определение перемещений по правилу Верещагина. Определение перемещений в балках и рамах.

При постоянной жесткости стержня или участков стержня вычисление интеграла Мора сводится к вычислению интегралов вида:

В случае, если хотя бы один из изгибающих моментов, стоящих в подинтегральном выражении, представляет собой линейную функцию координат ( в системах, состоящих из прямолинейных стержней, всегда имеет линейный вид), то возможна удобная графоаналитическая интерпретация вычисления интеграла Мора.

Пусть эпюра очерчена по произвольному закону;

- площадь этой эпюры, а - центр тяжести площади .

Эпюра очерчена по линейному закону . Подставим это выражение в (1)

Правило Верещагина

Для того, чтобы вычислить интеграл Мора необходимо площадь

одной из эпюр умножить на ординату, взятую из другой эпюры под центром тяжести площади.

Замечание 1. Ордината берется обязательно из линейной эпюры.

Замечание 2. Эпюра, из которой берется ордината , должна быть очерчена в пределах перемножаемого участка по одному закону (это ясно из вывода).

Замечание 3. Если обе перемножаемые эпюры линейны, то “умножение” по правилу Верещагина коммутативно.

З амечание 4. Если перемножаемая площадь и ордината расположены по одну сторону от оси стержня (имеют один знак), то произведение берется со знаком плюс.

Таким образом, в тех случаях, когда возможно вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина перемещения можно определить следующим образом: , где индексом пронумерованы все участки, на которые разбита система для перемножения по правилу Верещагина. Напомним, - перемещение ищется по направлению силы .

Для применения правила Верещагина необходимы некоторые гео-

метрические сведения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В БАЛКАХ

В балках возникают два типа перемещений:

1) Линейные перемещения – прогибы, т.е. перемещение точек оси балки в направлении перпендикулярном оси.

2 ) Угловые перемещения – углы поворота сечений, т.е. углы, на которые поворачиваются при изгибе поперечные сечения.

- прогиб; - угол поворота

. Очевидно, что , т.к. , то , откуда следует связь: первая производная от прогиба есть угол поворота сечения

Расчет балок на жесткость производится из условия:

Величина называется допускаемым прогибом и зависит от ха-

рактера конструкции и условий ее работы. Примеры.