Нагружение внешним давлением.
П
ри
Используя эти граничные условия, находим формулы для напряжений. Закон распределения напряжений показан на рисунке.
Н
аиболее
опасной оказывается точка 1. Напряженное
состояние в ней линейное.
Обратите внимание на то, что выражение для эквивалентного напряжения совпадает с соответствующим выражением для случая внутреннего давления.
Если внутреннее
отверстие отсутствует
,
то имеем
Посадка двух цилиндров.
Если в толстостенном
цилиндре нужно удержать высокое давление,
то, естественно, нужно увеличивать
толщину стенок цилиндра. Но, на этом
пути есть предел. Как видим ранее, даже
делая стенки бесконечно толстыми, мы
не можем сделать эквивалентное напряжение
меньше чем
Если, например, в сосуде нужно удержать
давление прядка
,
то столь высокопрочных материалов в
настоящее время не имеется. Одним из
конструктивных решений, позволяющих
обойти эти трудности, является посадка
цилиндров с натягом.
Берутся два цилиндра. У большего цилиндра внутренний радиус
д
елается
на небольшую величину
называемую
натягом, меньше чем наружный радиус
меньшего.
Большой цилиндр
нагревают и малый цилиндр вставляют в
большой. После того как большой цилиндр
остынет, между цилиндрами возникает
контактное давление
,
которое создает в конструкции
предварительную систему напряжений.
Эти напряжения, складываясь с напряжениями,
возникающими от рабочего давления
меняют напряженное состояние конструкции
в благоприятном направлении.
Выясним как выражается контактное давление через величину натяга.
При посадке внешний
радиус внутреннего цилиндра уменьшается
и получит отрицательное перемещение
,
а внутренний радиус боль-шого наружного
цилиндра увеличится и перемещение
будет положительным -
.
Сумма
должна быть равна натягу
Выразим из формулы
(2) перемещение и через деформацию
:
,
используя закон Гука (формула (5) при
)
имеем
и
вычисляем при
Подставляя (16) в
(15) и решая относительно
,
получаем
Подберем величину натяга таким образом, чтобы оба цилиндра были равнопрочны, т.е. чтобы эквивалентные напряжения в наиболее опасных внутренних точках цилиндров А и В были равны.
Используем гипотезу наибольших касательных напряжений
Подставляя (19) и (20) в (18) и учитывая (17) найдем величину натяга , обеспечивающую выполнение условия (18)
Эквивалентное напряжение при этом выразится
Будем рассматривать
С как переменный параметр и минимизируем
по С. Минимум будет иметь место при
а минимальное
эквивалентное
напряжение
,
натяг при этом
равен
Эти соотношения носят название условий Гадолина по имени русского ученого впервые их получившего. Пример:
Лекция XXVI Устойчивость сжатых стержней
Понятие устойчивости равновесного состояния
деформируемой системы.
Не все теоретически возможные равновесные формы могут быть реализованы в действительности. Реальный объект всегда отличается от расчетной схемы. Всегда имеются неучтенные в расчетной схеме силы, реальная геометрическая форма всегда отклоняется от проектной. Имеются отклонения в свойствах материалов от того, что предусматривалось проектом и т. д. В некоторых случаях эти, казалось бы второстепенные факторы могут привести к тому, что теоретически возможное состояние практически становится неустойчивым.
Н
апример,
никто не видел следующей картины:
идеально прямой карандаш стоит строго
вертикально на горизонтальном идеально
гладком стекле. В этом случае реакция
опорной поверхности направлена строго
вертикально и равняется весу карандаша.
Две равные по величине действующие по
одной прямой и направленные в
противоположные стороны силы, должны
уравновешиваться, однако данное
равновесное состояние реализовать в
действительности невозможно. Помимо
веса карандаша и реакции поверхности
будут действовать и другие силы, например
силы обусловленные движением воздуха,
карандаш не будут строго прямолинейным,
а поверхность стекла совершенно
горизонтальной и идеально гладкой и т.
д.
Будем называть неучтенные силы, отклонения в геометрической форме и т. д., возмущениями.
Определение: будем называть равновесное состояние устойчивым, если оно мало изменяется при малых возмущениях.
Приведем некоторые примеры.
Тяжелый шар на поверхности, имеющий вершины, впадины и горизонтальные участки.
В
том случае, когда шарик находится на
вершине составляющая
силы тяжести , возникающая при его отклонении, уводит его от первоначального состояния, для шарика, находящегося во впадине сила будет возвращать отклоненный шарик в первоначальное состояние и он будет колебаться в окрестности наиболее низкой точки впадины, т. е. при малых отклонениях состояние шарика будет также меняться мало. Случай шарика, находящегося на горизонтальной поверхности, будет случаем, разграничивающим рассмотренные выше неустойчивые и устойчивые равновесные состояния. Такое состояние называется безразличным
2
.
Картину разрушения образца при при
растяжении с образованием шейки можно
характеризовать, как потерю устойчивости
цилиндрической формы образца. По мере
приближения состояния образца к точке
С цилиндрическая форма образца становится
неустойчивой, образуется шейка и малым
изменениям силы соответствуют значительные
изменения конфигурации системы.
3. Центрально сжатый гибкий стержень
П
редполагается,
что стержень идеально прямой, а сила
приложена строго по оси (что, конечно,
практически невозможно). Для того, чтобы
судить устойчиво ли данное равновесное
состояние, надо приложить горизонтальную
возмущающую силу, которая вызовет
прогиб. Если сила F невелика,
то прогиб окажется малым, равновесное
состояние (прямолинейное) практически
не изменится.
Однако, если сила
F превысит некоторое
значение называющееся критическим
,
то равновесное состояние становится
неустойчивым, т. е. любые малые возмущения
приведут к значительным прогибам.
Зависимость между силами и прогибом
показана на рисунке. пунктирной линией
показано действительное поведение
стержня, ко
торое можно обнаружить с помощью нелинейных решений, сплошной
чертой показано грубое, линейное решение задачи.