Пределы применимости формулы Эйлера.

Формула Эйлера выведена в предположении, что материал линейно упруг, и , естественно, применима в тех случаях пока справедлив закон Гука.

Придадим формуле (3) иной вид. Введем понятие критического напряжения, т.е. напряжения соответствующего критической силе

но где

- минимальный радиус инерции сечения.

Введем еще одну величину – гибкость стержня -

тогда

Тогда можно сказать, что формула Эйлера справедлива, если критические напряжения не превышают предела пропорциональности при сжатии.

Выясним, при каких гибкостях можно использовать формулу Эйлера.

Приравняем в (4)

Если то можно использовать формулу (3).

Для малоуглеродистых сталей, особенно часто используемых

для сжатых элементов: тогда

т.е. для малоуглеродистых сталей формулу

Эйлера можно использовать при гибкостях больших 100.

Приведенное выше решение пригодно только для сравнительно длинных и тонких стержней. В случае более коротких и жестких стержней потеря устойчивости происходит при возникновении пластических деформаций, и задача требует специального рассмотрения.

Существуют решения (Т. Карман, Энгессер) об устойчивости стержня за пределами упругости. Иногда прибегают к эмпирическим формулам типа формулы Ясинского где

и - константы, зависящие от свойств материала.

Коэффициент запаса на устойчивость.

Представляет собой отношение критической силы для стержня к силе действующей на него

Коэффициент запаса на устойчивость может выступать, как некоторая заданная нормативная величина, тогда где

- нагрузка, допускаемая из условия устойчивости.

Вариант примера: для заданного сжатого стержня определить допускаемую силу. , материал Ст. 3

,

Расчет сжатых стержней на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемых напряжений.

Изложим методику расчета на устойчивость, предложенную русским инженером Ясинским в конце прошлого века. Суть этой методики состоит в том, что расчет на устойчивость подменяется расчетом на обыкновенное сжатие, но допускаемые напряжения при этом полагаются переменными, зависящими от гибкости. Допускаемое напряжение на устойчивость полагается равным

- допускаемое напряжение при сжатие,

- коэффициент снижения допускаемых напряжений.

Он может трактоваться как следующее отношение

Коэффициент снижения допускаемых напряжений зависит от гибкос-

ти . С увеличение гибкости величина его уменьшается. Разумеется, что он зависит не только от гибкости, но и от свойств материала. Для наиболее употребляемых материалов он вычислен и приведен в таблицах. Приведем такую таблицу для Ст.3, материала наиболее часто применяемого для сжатых элементов.

Для промежуточных значений соответствующие значения определяются путем линейной интерполяции.

0	1,00	60	0,86	120	0,45	180	0,23
10	0,99	70	0,81	130	0,40	190	0,21
20	0,96	80	0,75	140	0,36	200	0,19
30	0,94	90	0,69	150	0,32
40	0,92	100	0,60	160	0,29
50	0,89	110	0,52	170	0,26

Пример 1: Подобрать размеры квадратного поперечного сечения для сжатого стержня. , материал Ст.3, , .

Разберемся с геометрическими характеристиками.

1. 

Нагрузка, которую может воспринимать сечение при заданных размерах.

Размеры сечения слишком велики.

2. 

Размеры сечения слишком малы

3. Так как в обоих случаях мы оказались далеки от истины, то

попробуем в качестве следующего значения среднее арифмитичес-

кое из первых двух.

;

Обычно считается, что результат достигнут, если сила, которую воспринимает сечение отличается от действующей силы не более, чем на 5% в ту или другую сторону, т. е.

В наше случае это выполнено.

Принимаем размер сечения

Энергетический способ определения критической силы.

В сколько-нибудь сложных случаях, получить критическую силу из решения дифференциального уравнения изогнутой оси сжатого стержня затруднительно.

Поэтому в подобной ситуации проще получить приближенное решение, например, энергетическим методом.

Рассмотрим стержень центрально сжатый силой Р. Условно на рисунке стержень показан шарнирно опертым, но вопрос о граничных

у словиях пока оставим открытым. Пусть сила F меньше эйлеровой критической силы. Если приложить к стержню некоторую поперечную нагрузку Q, то стержень изогнется, но будет находиться в устойчивом равновесном состоянии.

Сжимающая сила совершит при этом работу на перемещении ,

которое можно найти следующим образом.

Укорочение малого элемента длиной будет равно

Учтем, что , тогда

Потенциальная энергия деформации изогнутого стержня

Здесь учтено, что

Изменение полной энергии при малом изгибе будет

Если , то стержень устойчив, если же ,т.е. , то

сила производит работу большую, чем может накопиться в стержне в виде энергии упругой деформации, избыточная работа идет на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение и прогибается дальше. Т.е. он неустойчив. Очевидно, что когда сила достигает критического значения, то или

, откуда

Для получения значения критической силы необходимо задаться формой изогнутой оси. Функцию надо подбирать таким

образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям. Примеры.