Определение перемещений при кручении. Расчет на жесткость
При кручении возникают угловые перемещения.
- угол взаимного
поворота сечений, т.е. угол на который
повернутся два каких-либо сечения друг
относительно друга. Пусть у стержня
одно сечение заделано, а на конце приложен
момент. Очевидно, что крутящий момент
по длине меняться не будет
На основании (4) имеем
(7). Если, как это имеет место в нашем
случае,
и
то
(8) Угол закручивания определяем на
всей длине l. Расчет
на жесткость заключается в ограничении
углов закручивания.
,
где
- допускаемый угол закручивания,
задаваемый обычно на длине 1м.
Расчет полых валов
Расчет полых валов производится по тем же формулам, что и
сплошных.
Только выражения для
имеют вид:
,
где
Полый вал более эффективен при
кручении, т.е. при одном и том же расходе
материала он имеет большую прочность
и жесткость.
Лекции хvi Кручение стержней некруглого поперечного сечения
Для стержней произвольного некруглого поперечного сечения не-льзя получить элементарное решение, подобное изложенному выше. В этом случае оказывается неверной гипотеза плоских сечений. Точки поперечного перемещения получают разные перемещения в направле-нии оси стержня, и сечения искривляются (депланируют). Характер распределения касательных напряжений более сложный, чем в случае круглого стержня. Математически явление описывается дифференциальным уравнением в частных производных - уравнением Пуассона.
П
риведенные
ниже результаты получены методом теории
упругости. Для того, чтобы лучше
представлять себе характер распределения
касательных напряжений обратимся к
некоторым закономерностям их распределения.
1. В точке поперечного сечения. Являющейся вершиной выступающего угла касательные напряжения равны нулю. Докажем это.
Допустим,
что в угловой точке имеется отличное
от нуля касательное напряжение
.
Разложим его на составляющие. Направленные
по нормали к дугам в точке пересечения
и
.
Тогда на боковой поверхности по закону
парности касательных напряжений должны
быть равные им напряжения. Однако,
боковая поверхность свободна от
напряжений.
2. Касательное напряжения в точках контура направлено по каса-
т
ельной
к контуру. Доказательство аналогично
предыдущему. Если касательное напряжение
направлено не по касательной, то должна
быть нормальная составляющая
,
но последняя равна нулю ввиду парности
касательных напряжений.
3. Мембранная аналогия.
Я
вление
кручения стержня описывается тем же
дифференциальным уравнением, что
выпучивание тонкой мембраны, натянутой
на контур сечения и находящейся под
действием нормальной нагрузки.
Таким образом, эти разные явления аналогичны. Объем, ограниченный выпученной пленкой и плоскостью сечения аналогичен крутящему моменту, возникающему в сечении. Аналогом касательного напряжения является тангенс угла линии наибольшего ската в данной точке.
Заметим, что поперечная нагрузка к мембране прикладывается в тех местах сечения, где есть материал. В местах пустых полостей нагрузка не прикладывается.