Статические моменты

На основании теоремы Вариньена (о моменте равнодействующей) можно записать где

и - координаты центра тяжести площади. Отсюда мы имеем прием для отыскания центра тяжести площади: .

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называют центральной (естественно, что она проходит через центр тяжести фигуры).

Если мы имеем дело с составной фигурой, т.е. фигурой состоящей из частей, для каждой из которой мы знаем площадь и координаты центра тяжести, то статические моменты можно найти:

где - соответственно площадь и координаты центра

тяжести фигуры составляющей.

Преобразование моментов инерции при параллельном переносе осей

Пусть - центральные оси для данной фигуры, а и - произвольные оси параллельные осям и .

Найдем моменты инерции для осей и ,через (как выражаются)

“ старые” моменты инерции относительно осей и .

Связь между “новыми” и “старыми” координатами произвольной элементарной площадки будут выглядеть

где и - координаты старого центра в новых осях. Подставляя эти выражения в формулы для моментов инерции, и учитывая, что оси - центральные получаем:

Проделывая аналогичные выкладки и для других моментов, получаем следующий закон преобразования моментов:

; ;

Первыми двум выражениям можно придать словесную формулировку: момент инерции относительно какой-либо оси равняется моменту относительно оси центральной параллельной данной плюс площадь на квадрат расстояния между осями.

Моменты инерции простейших фигур

а) Момент инерции для прямоугольника относительно центральной оси:

б) Треугольник -

Момент инерции относительно оси : ; .

И спользуя формулу преобразования момента инерции при параллельном переносе осей, получаем выражение для центрального момента инерции:

в) Круг

Из соображений симметрии заключаем, что все центральные оси обладают равными моментами инерции. Поэтому Найдем вначале полярный момент инерции: или через диаметр:

г ) Кольцевое сечение.

обозначив , имеем

Преобразование моментов инерции при повороте осей.

П усть - произвольные площади сечения площадью , а оси , получены из них поворотом на угол . Найдем моменты инерции относительно осей через “старые” моменты инерции относительно осей х, у.

Связь между координатами известна из курса аналитической геометрии ; .

Вычислим момент инерции

Входящие в это выражение, интегралы представляют собой моменты инерции относительно осей

Учитывая известные тригонометрические тождества:

переходим к функциям угла . Если проделать эту процедуру и для то получим следующие формулы преобразования моментов инерции при повороте координатных осей:

Складываем два первых уравнения, получаем т. е.

сумма осевых моментов инерции инвариантна по отношению к пово-

роту осей (на самом деле, она равна полярному моменту инерции, а последний зависит лишь от полюса, а не от положения осей ).