Геометрическая сторона задачи.
В виду осевой
симметрии перемещение любой точки
направлено по радиусу и зависит только
от радиуса
.
Перемещение точек с полярным радиусом
r:
О
тносительное
удлинение в окружном направлении
Относительное
удлинение в радиальном направлении
Итак! Деформации связаны с перемещением следующим образом
(2);
(3)
Т.к.
и
выражаются через одну и ту же функцию
,
то они не
могут быть независимыми, и связаны соотношением, называемым уравнением совместимости деформаций.
Из (2)
сопоставляя с (3), имеем:
Обратите внимание! Структура уравнения совместимости деформаций (4) аналогична структуре дифференциального уравнения равновесия (1).
Физическая сторона задачи
Будем полагать, что материал линейно упруг и следует закону Гу-
ка. Обобщенный закон Гука запишется:
(5)
Из последнего
уравнения имеем
Исключим из двух первых уравнений
аналогично:
(5,а)
Уравнение равновесия
(1) тождественно удовлетворяется, если
ввести следующую функцию
:
На самом деле:
(тождество).
Выразим в (5а) деформации через функцию напряжений
Подставим (7) и (5б) в уравнение совместимости деформаций (4)
Получаем
дифференциальное уравнение
Найдем решение
этого уравнения. Будем искать его в
форме
,
где
-
произвольная постоянная.
подставим в (8):
,
т.к.
и
,
то сократив на
и
,
получаем
При каждом из значений имеем частное решение уравнения (8), а общее решение однородного уравнения (8) равняется сумме линей-
нонезависимых
частных решений
Зная функцию
напряжений
,
легко найти напряжения
Эти уравнения
можно объединить в одну формулу:
Это и есть формулы
Ляме для напряжений в толстостенном
цилиндре. Постоянные интегрирования
и
определяются из граничных условий.
Нагружение внутренним давлением
Запишем граничные
условия. 1) при
1) при
2) при
Подставим это в
выражение для
из формулы (10)
Решая полученную
систему уравнений, определяем
и
.
Подставим в (10)
Напряжения распределяются по гиперболическому закону. Характер распределения напряжений показан на рисунке. Наибольшие окружные напряжения возникают в точках внутреннего контура.
Обратимся к осевым напряжениям
Оказывается осевое напряжение постоянно по сечению цилиндра.
Здесь возможны два различных случая:
а) Цилиндр имеет днище. В этом случае растягивающая цилиндр
сила равна давлению
на дно
и осевые напряжения равны
Наиболее опасной
оказывается точка
принадлежащая
внутрен-
нему контуру. Главные напряжения в ней равны:
Если принять гипотезу наибольших касательных напряжений, то эквивалентное напряжение равно
б) Цилиндр открыт
(например, ствол орудия)
;
Т.к. эквивалентное
напряжение от
не зависит, то оно выражается той же
самой формулой (12).
Цилиндр с бесконечно толстыми стенками.
Если
,
то из (11) следует
,
т.е. радиальное напряжение по модулю
равно окружному. Практически этим
результатом можно пользоваться при
.
Интересно, что при этом форма внешнего
контура не играет никакой роли.
Эквивалентное напряжение в этом случае
