Проверка правильности раскрытия статической неопределимости.
Д
ля
того, чтобы проверить правильно ли
построена эпюра моментов в статически
неопределимой системе, поступают
следующим образом. Берут основную
систему и прикладывают единичные силы
по направлению отброшенных связей и
строят единичные эпюры. Перемножая
проверяемую эпюру на любую единичную,
мы должны получить в результате нуль,
т.к. определяем перемещение по направлению
связи.
Пример.
Определяя перемещения на правой опоре по двум другим направлени
ям, мы также должны получить нуль.
Лекция XII Расчет статически неопределимых балок.
Степень статической
неопределимости балок легко подсчитывается.
Она равняется (если балка неразрезная):
,
где
число опорных стержней.
Например:
Однако, еще проще убедиться в том, отбросив три опорных стержня.
Если число пролетов балки невелико, особенно, если балка является однопролетной, то выбирать основную систему можно путем отбрасывания опор. Пример:
В случае если балка многопролетная, то выбор основной системы путем отбрасывания опор себя не оправдывает.
Н
и
один из побочных коэффициентов в нуль
не обращается. Матрица коэффициентов
получается опорной и не содержит ни
одного нулевого элемента. Такая
основная система была исторически
первой и хуже ее придумать нельзя.
Уравнение 3-х моментов.
Выберем основную систему таким образом, чтобы неразрезная балка обратилась в совокупность однопролетных шарнирных опертых балок. Для этого разрежем сечения над опорами и вставим в разрезы шарниры. Т.к. врезав над опорами шарниры, мы устраним связь препятствующую взаимному повороту сечений в шарнире, то, понятно, что основные неизвестные у нас будут являться изгибающими моментами в опорных сечениях – опорными моментами.
Рассмотрим произвольную балку:
Пусть
- номера следующих друг за другом
произвольных опор, а
и
- пролеты, заключенные между данными
опорами. Составим каноническое уравнение
для
опоры:
Нетрудно заметить,
что только три коэффициента:
отличны от нуля, а остальные обращаются
в нуль.
Вычислим коэффициенты и свободные члены:
Подставим
эти выражения в (1), умножим уравнение
на 6 и обозначим:
-
это уравнение носит название “уравнение трех моментов”, где
и
- площади эпюр моментов в основной
системе следует рассматривать как
величины алгебраические и приписывать
им знак плюс в случае, если моменты
положительны, и знак минус в случае
отрицательных моментов.
С
истема
канонических уравнений, составленных
таким образом, обладает тем преимуществом,
что какого бы порядка она не была, каждое
из уравнений будет содержать не более
3 неизвестных величин, т.е. матрица
будет трехдиагональной (см. рисунок).
Ширина полосы равняется 3. Вне этой
полосы коэффициенты равны нулю, и они
не должны сохраняться в машинной памяти.
Задачи, приводимые к подобным матрицам,
эффективны для расчетов на ЭВМ, т.к. они
требуют меньшей машинной памяти и
меньшего времени для расчета.
При малой степени статической неопределимости эффективность
применения уравнений (2) меньше, но тем не менее и здесь есть удоб-
ство, заключающееся в автоматической записи метода сил.