2.4.2 Разработка математической модели

Законченная концептуальная постановка позволяет сформулировать математическую постановку задачи моделирования процессов в блоках модели.

Разработка математической модели включает этапы: разработка функциональных соотношений, выбор метода решения задачи, проверка и корректировка модели.

Разработка функциональных соотношений

Математическая модель представляет собой совокупность соотношений (например, уравнений, логических условий, операторов), определяющих характеристики процесса функционирования системы в зависимости от структуры системы, алгоритмов поведения, параметров системы, воздействий внешней среды, начальных условий.

Процесс функционирования формализуется в виде системы математических соотношений, характеризующих изучаемый объект (технологический процесс). Эти определяющие соотношения (суть любой математической модели) устанавливает исследователь. Ошибки в выборе определяющих соотношений приводят к количественно (а, возможно, и качественно) неверным результатам моделирования.

Математическое описание составляется на основе материальных и энергетических балансов, ограничений, а также физических законов, определяющих особенности процесса. Ограничения могут быть обусловлены технологическими, техническими или экономическими причинами.

Совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования, определяет вид оператора модели. Для обеспечения корректности постановки задачи к системе уравнений добавляются начальные или граничные условия.

Схема моделирующего алгоритма задает логическую структуру модели процесса функционирования системы (упорядоченную во времени последовательность логических операций), порядок действий при моделировании (что и как следует выполнить на очередном шаге моделирования).

В моделях сложных систем одна и та же информация может быть необходимой для разных блоков (модулей), при совместной их работе требуется видоизменение информации при передаче ее от одного блока к другому (т.е. интерфейсная адаптация). В связи с этим при моделировании сложной системы особое внимание уделяется способам хранения информации и организации информационных потоков.

Выбор метода решения задачи

Основные методы решения задач с помощью математической модели: аналитические или численные методы, имитационное моделирование.

Аналитические методы предполагают поиск искомых величин от исходных параметров модели в виде аналитических выражений. Аналитическое выражение (формула) – совокупность действий, которые нужно проделать в определенном порядке над значением аргумента и константами, чтобы получить значение функции.

Математическая модель представляется в виде явных аналитических зависимостей между характеристиками и параметрами системы и внешних воздействий. Процессы функционирования записываются в виде, некоторых функциональных соотношений (алгебраических, и: интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий.

Аналитические методы дают возможность выявить основные зависимости и определить направления дальнейших исследований. Во имя этого иногда сознательно идут на умышленное отступление от первоначальной модели, на упрощение и загрубление ее ради получения аналитических зависимостей и возможности решения задачи хоть и приближенного, но качественно отражающего основные закономерности.

Численные методы: математическая модель представляет собой систему уравнений, к которым применяется некоторый численный метод. Переход от функции непрерывного аргумента к функции дискретного аргумента в численных методах приводит к определенной погрешности вычислений.

Логическая структура метода и характер фигурирующей информации обусловлены скорее типом тех уравнений, к которым удалось свести первоначальную математическую модель. Численный метод всегда реализуется в виде вычислительного алгоритма.

Существует огромное разнообразие численных методов: интерполяция, численное дифференцирование, численное интегрирование, решения систем линейных и нелинейных уравнений, задачи Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, уравнений в частных производных и т.д. Это предполагает выбор метода с позиций эффективности, устойчивости, точности решения конкретной задачи (чаще всего определяется установившимися предпочтениями исследователя и его математической культурой – неформализуемо, как и вся вычислительная математика).

При моделировании сложных процессов далеко не всегда можно модель преобразовать в систему уравнений, пригодную для применения численных методов.

Имитационное моделирование – численный метод исследования свойств системы, путем воспроизведения процесса ее функционирования с помощью вычислительного эксперимента с математической моделью системы – свойства системы определяются на основании анализа накопленного статистического материала. При имитационном моделировании динамические процессы системы – оригинала подменяются процессами, имитируемыми в абстрактной модели, но с соблюдением таких же соотношением длительностей и временных последовательностей отдельных операций.

Одно из основных достоинств имитационных моделей — возможность моделирования даже в тех случаях, когда аналитические модели либо отсутствуют, либо (из-за сложности системы) не дают практически удобных результатов. Имитационное моделирование позволяет учесть влияние большого числа случайных и детерминированных факторов, а также сложных зависимостей при вводе в модель соответствующих элементов и операций.

При имитационном математическом моделировании явлений и процессов сохраняется их логическая структура, последовательность чередования событий во времени. Каждый акт воспроизведения течения процесса называется имитационным экспериментом.

Методами имитационного моделирования анализируется функционирование сложных систем, исследования которых практически невозможно другими методами: системы, подверженные случайным возмущениям, различные варианты управления системами, взаимодействие систем.