Динамика поступательного движения.

Основной закон поступательного движения: производная по времени от количества движения К материальной точки или системы точек относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета равна главному вектору всех сил, приложенных к системе: dK/dt = F, или mw_с = F, где w_с – ускорение центра инерции системы. К_i = m_i v_i

В прямоугольных декартовых координатах уравнение движения имеет вид:

d K_x/dt = F_х, dK_y/dt = F_y, dK_z/dt = F_z. m_i = F_iх, m_i = F_iу, m_i = F_iz.

m dV_x/dt  = F_х, m dV_y/dt  = F_y

Простейшие случаи поступательного движения твердого тела.

а) Движение по инерции (F = 0) – равномерно поступательное движение (с постоянной скоростью):

mv = const, а = 0. v = const, S = vt.

б) Движение под действием постоянной силы – равномерно ускоренное движение (с постоянным ускорением):

(mv) = F = const, mv = Ft + mv₀, где mv - количество движения тела в начальный момент времени t = 0.

Время, за которое происходит изменение скорости из состояния покоя t=V/a

Из состояния покоя изменение скорости к моменту t: V=at Тогда S=vt/2 = at²/2

в) Неравномерно ускоренное движение

dS=Vdt S=

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀:

h_max = v₀²/2g.

Р абота = Сила х Перемещение.

При F = const (в случае постоянной силы в процессе перемещения) A = F s, в случае переменной силы – интеграл от силы по перемещению A = .

Если тело движется в направлении действия силы тяжести, то над телом совершается работа A = mg h.

Чтобы поднять тело (увеличить расстояние от центра Земли), над ним следует совершить работу. Работа, совершаемая силой F при движении против силы тяжести (подъеме тела) на высоту h не зависит от пути – зависит только от того, насколько тело может опуститься до заданного уровня. Эта работа запасается в виде потенциальной энергии тела (энергии положения) A =W_п = mgh, равной работе, затраченной на подъем тела.

Это не полная потенциальная энергия – только приращение энергии при подъеме тела на высоту (начало отсчета выбирается произвольно). С учетом изменения гравитационного поля по высоте

W_п = m .

Потенциальной энергией называется энергия, зависящая только от взаимного расположения материальных точек (или тел). Во всех физических явлениях важна не сама потенциальная энергия, а ее изменение, которым определяется совершаемая работа. Уровень отсчета изменений заранее оговаривается.

При подъеме на высоту накопилась потенциальная энергия W_п, при падении с этой высоты эта потенциальная энергия превратилась в кинетическую W_к. W_п = W_к = mgh = mv²/2.

Т ело брошено горизонтально с начальной скоростью v₀ – комбинация двух движений взаимно перпендикулярных друг другу: горизонтального (равномерного прямолинейного) и вертикального (свободного падения).

Координаты каждой точки траектории:

- перемещение тела в горизонтальном направлении x = v₀ t;

- перемещение тела в вертикальном направлении (равномерно ускоренное движение с ускорением g) y = gt²/2.

Из этих уравнений движения: t = x / v₀ , y = gx² / 2v₀ – парабола.

Тело, брошено под углом к горизонту.

Как и в случае горизонтально брошенного тела, тело движется, в результате комбинации двух движений: равномерного прямолинейного движения под углом к горизонту и свободного падения в вертикальном направлении (под действием только силы тяжести – без реакции опоры).

В двумерной постановке тело, брошенное под углом к горизонту, рассматривается как материальная точка, движущаяся под действием лишь одной силы - постоянной силы его веса Р, направленной вертикально вниз. Начало координат – в точке приложения силы, обеспечившей начальную скорость полета.

Тело массы m, брошенное под углом к горизонту, движется под действием постоянной силы веса Р = F_т, направленной вертикально вниз Р = mg.

Уравнения движения можно представить как в векторной, так и в координатной форме.

Для произвольной точки М (х,у) траектории тела:

mv = Р t + mv₀, или v = gt + v₀.

Проецируя векторные соотношения на оси координат, получим уравнения движения в координатной форме.

m dv_x /dt = 0, v_x = dx/dt,

m dv_y /dt = - mg, v_y = dy/dt

Необходимо найти зависимости x(t), y(t), v_x(t), v_y(t) из решения полученной системы дифференциальных уравнений при начальных условиях:

x(0) = x₀, y (0) = y₀, v_x (0) = v₀ cos Θ ₀, v_y (0) = v₀ sin Θ ₀.

Сопротивление воздуха

Cила сопротивления воздуха F_а/д (полная аэродинамическая сила) направлена противоположно вектору скорости тела прямо пропорциональна величине скоростного потока q и характерной площади тела S:

F_а/д = - CrqS, q = ρv²/2,

где Cr - коэффициент сопротивления, зависящий от свойств среды и тела, скорости потока, ρ [кг/м³] – плотность воздуха, зависит от высоты.

Коэффициент сопротивления определяется опытным путем, и для приближенных расчетов для тела в форме шара может быть принят независимым от скорости потока и равным 0,25 (плюс – минус 0,05 – в зависимости от скорости).

Тогда система уравнений запишется в виде:

dv_x /dt = Cr qS cos Θ / m, v_x = dx/dt,

dv_y /dt = Cr qS sin Θ / m - g, v_y = dy/dt

ρ = ρ (y), α = arctg v_x / v_y, q = ρv²/2

при начальных условиях:

x (0) = x₀, y (0) = y₀,

v_x (0) = v₀ cos Θ ₀, v_y (0) = v₀ sin Θ ₀.

Зависимость ρ = ρ (y) может быть задана в табличном или в аналитическом виде.

Задача не имеет аналитического решения и решается численным интегрированием. Определяется влияние шага интегрирования на точность решения задачи.

Изменение с высотой величины ускорения силы тяжести Земли

Ускорение свободного падения одинаково для всех тел и, также как и вес, зависит от географической широты и высоты над уровнем моря.

Стандартное (нормальное) значение ускорения свободного падения на уровне моря составляет g0 = 9,81 м/сек². Для определения ускорения при удалении от поверхности Земли на высоту h используется формула g = g₀[R₀/(R₀ + h)]², R₀ = 6370 км - радиус Земли. На географических полюсах (φ = 900) Fц = 0 и вес тела равен силе притяжения его к Земле. Вследствие того, что центростремительная сила зависит от широты, вес тела максимален на полюсах и минимален на экваторе, различие не превышает 0,55%.

Величина выталкивающей силы (закон Архимеда)

На тело действует выталкивающая сила воды в соответствии с законом Архимеда.

По закону Архимеда выталкивающая сила равна F_арх = g(y)Vρ₀(y). Здесь Vρ₀(y) – масса вытесненного воздуха, V – объем тела.

Величины присоединенной массы

Присоединенная масса может быть определена по формуле: m = 0,5 Vρ₀.

Изменения плотности атмосферы с высотой

Гипотеза о постоянстве плотности атмосферы (ρ₀ = 1,225 кг/м³) с высотой полета изменяется ρ = ρ (h), где h – высота над уровнем моря [м]: ρ = ρ₀^{- 0, 00014h}.

Кривизны Земли

Для учета кривизны Земли необходимо строить новую математическую модель - начало системы координат помещается в центр Земли. В этом случае сила притяжения направлена в начало координат (а не перпендикулярно оси координат), и тип кривой полета становится другим (эллипс, а не парабола).

Движение тела переменной массы.

Дифференциальное уравнение поступательного движения твердого тела, масса которого зависит от времени, имеет вид

(mv) = F + v₁ , где F – главный вектор всех сил, действующих на тело, v₁ – скорость присоединяющейся массы до присоединения (если dm/dt > 0) или скорость отделяющейся массы после отделения (если dm/dt < 0).

Ускорение w тела переменной массы w = 1/m(F + F_p), где F_p = (v₁ – v)dm/dt = udm/dt – реактивная сила, равная произведению производной по времени от массы тела на относительную скорость u = v₁ – v присоединяющейся или отделяющейся массы.

Пример. Движение ракеты в условиях отсутствия внешнего силового воздействия.

Реактивная сила, создаваемая двигателем, - сила тяги ракеты: F_p = u dm/dt, где dm/dt - скорость уменьшения массы ракеты за счет выгорания топлива.

Уравнение движения ракеты: m dv/dt = u dm/dt,

где v и m - скорость и масса ракеты в произвольный момент времени t, u - относительная скорость отделяющейся массы.

Векторы dv/dt и u направлены в противоположные стороны, потому m dv/dt = - u dm/dt, откуда при u = const следует уравнение Циолковского: v = v₀ + ulnm₀/m, где v₀ и m₀ - начальные значения скорости и массы ракеты (при t =0).