Проверка и корректировка модели

Проверка модели включает оценку чувствительности модели к изменению исходных данных, адекватности модели (соответствие поведения модели и реальной системы) и достоверности модели (верификация – проверка того, что модель отвечает заданным ей требованиям).

По результатам проверки модели определяется соответствие принятых существенных факторов, гипотез и допущений заданной точности решений. При необходимости модель корректируется.

Анализ чувствительности модели

При построении модели параметров и предположения могут быть приняты с некоторой степенью неопределенности, кроме того, параметры могут изменяться в зависимости от внешних условий и во времени. Чувствительность означает, что при небольшом изменении входных параметров происходит такое изменение показателей свойств системы, которое можно обнаружить в условиях погрешности вычислений.

При анализе чувствительности определяется изменения в реакции модели на отклонения отдельных параметров модели. Это позволяет сделать вывод об относительной важности входных переменных для конкретной модели, выделить ключевые переменные и идентифицировать те, которые можно без ущерба исключить из рассмотрения.

Анализ чувствительности особенно важен при решении оптимизационных задач - может быть сильная чувствительность результата оптимизации к изменению условий.

Решение практической задачи нельзя считать законченным, если найдено оптимальное решение - некоторые исходные параметры задачи можно регулировать, что, в свою очередь, может изменить найденное оптимальное решение: если обнаруживается, что оптимальное решение можно улучшить за счет небольших изменений заданных параметров, то целесообразно реализовать эти изменения. В результате анализа чувствительности входные переменные можно расположить в том порядке, который соответствует степени ухудшения точности модели при исключении из нее соответствующей переменной. При этом каждой переменной присваивается определенный рейтинг. Однако при наличии зависимостей между входными переменными нет уверенности, что такой одиночный рейтинг правильно отражает реальную ситуацию.

Цель анализа чувствительности состоит в сравнительном анализе влияния различных факторов на результат решения задачи моделирования.

Укрупненная схема анализа чувствительности:

- выбор факторов, незначительное изменение которых может оказать существенное с точки зрения исследователя влияние на результат;

- установление номинальных и предельных (нижних и верхних) значений выбранных факторов;

- решение задачи моделирования в различных диапазонах исходных данных для всех выбранных предельных значений факторов;

- построение зависимостей чувствительности решения задачи для всех факторов и диапазонов изменения исходных данных.

По результатам такого анализа чувствительности можно сделать вывод о направлении доработки модели с целью повышения ее меры адекватности в различных диапазонах измененеия исходных данных.

При анализе чувствительности оценивается влияние принятых исходных данных (для каждого набора существенных факторов, гипотез, допущений) на результат.

Анализ чувствительности модели осуществляется в несколько итераций.

На первом этапе анализируется одна из переменных (изменяется на какое-либо фиксированное значение, например на 10%), значения всех остальных переменных на входе проекта остаются базовыми - оценивается влияние изменения данной переменной на результат. Для оптимизационных задач оценивается влияние данной переменной на критерий эффективности.

Таким же образом осуществляется расчет показателя чувствительности и критерия для каждой переменной.

На последнем этапе на основании коэффициентов чувствительности ранжируются все переменные в порядке убывания.

Если удается определить, какие параметры в наибольшей степени влияют на значение целевой функции, то для повышения точности получаемого решения целесообразно скорректировать модель в направлении увеличения точности решения в зависимости именно от этих параметров, и упростить модели в отношении параметров, слабо влияющих на результат.

Проверка адекватности модели – определяется степень соответствия результатов, полученных по разработанной модели, удовлетворяющей исследователя (заданным точностям расчетов).

В частности, количественная адекватность оценивается для близких к известным частным и экстремальным случаям применения системы. Анализируется совпадение некоторых характерных особенностей модели и объекта (например, наличие экстремальных точек, возрастание или убывание параметров): оценивается совпадение вида функции (убывающая или возрастающая, с одним экстремумом или несколькими).

Вопрос, что является для данной модели существенным (факторы, принятые гипотезы и допущения), а что нет, решается неформально на основе качественного анализа и с помощью количественных вычислений при анализе чувствительности модели.

В результате анализа для каждой модели (факторы, принятые гипотезы и допущения) определяется мера ее адекватности по сравнению наиболее точной моделью, и из всех выбирается наиболее эффективная модель (факторы, принятые гипотезы и допущения) по степени упрощения при заданной точности расчетов.

Контроль модели.

Исходный вариант модели проверяется по следующим основным аспектам:

Все ли существенные параметры включены в модель?

Нет ли в модели несущественных параметров?

Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами?

Правильно ли определены ограничения на значения параметров?

Такая предварительная проверка модели позволяет выявить грубые ошибки.

Если по результатам проверки адекватности выявляется недопустимое рассогласование модели и системы, возникает необходимость в корректировке модели.

Можно выделить следующие виды проверок:

проверка моделей компонентов;

проверка модели внешних воздействий (оценка гипотез математическими методами);

проверка концептуальной модели функционирования системы;

проверка математической модели;

проверка программной модели.

Контроль соответствия значений переменных их физическому смыслу: знаки и величины переменных модели не должны противоречить возможным значениям моделируемых физических величин.

Контроль размерностей: сравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности, эта проверка сочетается с контролем использования одной и той же системы единиц для значений всех параметров.

Контроль порядков: выделение основных и уточняющих слагаемых - сравниваются порядки складываемых величин и исключаются малозначимые параметры.

Контроль характера зависимостей между переменными: выявление качественного совпадения вида модельных зависимостей с видом аналогичных зависимостей в реальной системе (направления и скорость изменения выходных параметров модели соответствуют физическому смыслу моделируемой системы).

Контроль экстремальных ситуаций: в подобных ситуациях поведение модели должно совпадать с поведением системы.

Контроль граничных условий: проверка того, что граничные условия наложены, и значения выходных параметров модели удовлетворяют заданным условиям.

Контроль математической замкнутости: проверка того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, притом однозначно, решить поставленную математическую задачу. Проверка замкнутости модели: число независимых уравнений должно быть равно числу искомых параметров задачи.

Например, если задача свелась к отысканию п неизвестных из некоторой системы алгебраических или трансцендентных уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того факта, что число независимых уравнений должно быть п.

Оценка корректности задачи математической постановки задачи (задача, для которой решение существует, оно единственно и непрерывно). Решение считается непрерывным, если малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения.

Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.

Для замкнутой и корректно поставленной математической задачи, т.е. задачи, для которой решение существует, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных, число независимых уравнений должно быть равно числу искомых параметров. Решение считается непрерывным, если малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения.

Математическая модель считается корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.

Контроль устойчивости модели: изменение в определенных пределах параметров модели не вызывает качественного изменения ее свойств. Причинами низкой устойчивости модели могут быть деление на малую по модулю величину, вычитание близких друг к другу приближенных значений величин, введение дополнительных параметров, известных с невысокой точностью.

Корректировка модели.

При корректировке модели могут уточняться существенные параметры, ограничения, показатели исхода операции, связи показателей исхода операции с существенными параметрами. После внесения изменений в модель вновь выполняется оценка чувствительности и адекватности.

Корректировка модели завершается определением и фиксацией области пригодности модели: множество условий, при соблюдении которых точность результатов моделирования находится в допустимых пределах.

Оптимизация модели. Сущность оптимизации моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, выступают время и затраты средств для проведения исследований на ней. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую. Преобразование может выполняться либо с использованием математических методов, либо эвристическим путем.

По результатам корректировки модели делается вывод об адекватности модели заданной цели исследований (верификация модели).

Верификация (доказательство, подтверждение, (лат. verus - истинный и facio - делаю) - подтверждение на основе представления объективных свидетельств того, что установленные требования были выполнены.

Верификация модели состоит в проведении исследования с помощью отладочных и проверочных тестов.

Осуществляется взаимная проверка различными подходами, качественное и количественное исследование моделей, проверка непротиворечивости, сравнение результатов, полученных аналитическими и численными методами, сопоставление с практикой.

Метод асимптотического ряда моделей (Е.С. Вентцель) – спор моделей.

Идея метода основана на аксиоме - при бесконечном повышении качества модели она приближается к самому объекту. Следовательно, построив ряд моделей возрастающей точности, мы сможем на основании модельных экспериментов предсказать, какими будут выходные параметры у реального объекта, который ещё предстоит построить в будущем. Здесь используются прогнозирующие способности моделей.

Для простоты будем считать, что проектируемый объект характеризуется одним выходным параметром y_p, значение которого и предстоит спрогнозировать.

Для проектируемого объекта строится ряд моделей возрастающей точности: М₁, М₂, … М_n,... Все они моделируют один и тот же объект, но делают это с возрастающей степенью точности - чем старше модель, тем выше её качество. Испытания моделей (вычислительные эксперименты) дают ряд значений модельного параметра - y_m1, y_m2, … y_mn, … .

Этот ряд значений y_m1, y_m2, … y_mn, … будет асимптотически приближаться к реальному значению y_p, которое спрогнозировать (определить на графике его величину). После чего можно вычислить точность каждой из построенного ряда моделей.

"Спор" этих моделей заключается в выборе рабочей модели - последняя построенная модель самая точная, но одновременно она и самая сложная, а значит, и самая неэкономичная.

Рабочей моделью должна быть самая простая модель, которая ещё обеспечивает требуемую точность модельных экспериментов e_доп .

Для контроля правильности полученной системы математических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок.