Скорость роста какой-либо величины пропорциональна текущему значению этой величины Закон сохранения материи

Хранение делящегося вещества.

1. Формулировка содержательной модели

Объект моделирования: имеется некоторое количество радиоактивного вещества (область I), окруженного толстым слоем защитного материала (область II).

Ф ормулировка цели исследований и задачи моделирования: разработать математическую модель, которая позволит определить закономерности изменения масс радиоактивного вещества и защиты.

Исходные данные: массы М_I(0), М_II(0) и размеры L_I(0), L_II(0) радиоактивного вещества и защитного материала, длина свободного пробега продуктов распада в радиоактивном материале λ_I и защите λ_II, μ_I - атомный вес радиоактивного вещества.

2. Формулировка концептуальной модели.

Формулировка закона, которому подчиняется явление: все, что вылетает из области радиоактивного вещества (области I) поглощается в области защиты (области II), и суммарная масса обоих веществ со временем не меняется – модель строится на основании закона сохранения материи.

Выделение существенных факторов и формулировка гипотез.

Все продукты распада, не испытывая столкновений с атомами вещества, покидают область I: длина свободного пробега продуктов распада λ_I значительно больше характерных размеров самого материала L_I, т.е. λ_I >> L_I, продукты деления полностью поглощаются в защите (области II). Это гарантируется при выполнении противоположного условия λ_II << L_II , где λ_II - длина пробега продуктов распада во втором веществе, L_II - его характерный размер.

3. Разработка математической модели.

В любой момент времени справедлив баланс

M_I (0) + M_II (0) = M_I (t) + M_II (t). (1)

Введение дополнительных гипотез.

Для определения текущих значений двух масс (замыкания математической формулировки задачи) необходимо привлечь дополнительное соображение о характере распада: число атомов радиоактивного вещества, распадающихся в единицу времени (скорость распада), пропорционально общему числу атомов вещества.

Применим еще раз закон сохранения вещества к отрезку времени dt. За небольшое время dt между моментами t и t + dt всего распадется атомов

N_I (t + dt) – N_I (t) = - αN_I (t + ξdt), α>0, 0<ξ<1.

В этом уравнении, описывающем баланс атомов, в правой части стоит знак минус (вещество убывает), а величина N_I (t + ξdt) отвечает некоторому среднему значению числа атомов за рассматриваемое время, α – коэффициент пропорциональности.

Это же уравнение в дифференциальной форме:

dN_I  (t) / dt = - αN_I (t).

Учитывая, что M_I (t) = μ_I N_I (t), где μ_I – атомный вес вещества I, получаем

dM_I (t) / dt = - α M_I (t). (2)

Уравнения (1) и (2) вместе с условиями λ_I >> L_I и λ_II << L_II , а также величинами α, M_I (0), M_II (0) и составляют математическую модель рассматриваемого объекта.

Коэффициент пропорциональности (чем больше самого вещества, тем больше продуктов распада) определяется конкретным веществом.

4. Исследования модели и решение задачи.

Интегрируя (2) получаем, что масса делящегося вещества убывает по экспоненциальному закону

и при t → ∞ в области I вещество полностью исчезает.

Так как суммарная масса в соответствии с (1) остается постоянной, то в области II, количество вещества растет:

и при t → ∞ продукты распада полностью переходят из области I в область II.

Несмотря на физическое различие на простейшем уровне просматривается аналогия между радиоактивным распадом и динамикой популяций, в частности, изменение численности населения планеты, о чем свидетельствует одна из простейших моделей популяции, называемая моделью Мальтуса. В ее основу положено утверждение – скорость роста какой-либо величины пропорциональна текущему значению этой величины.

I. Скорость роста пропорциональна текущей величине населения N (t), умноженной на сумму коэффициентов рождаемости а (t) ≥ 0 и смертности β (t) ≤ 0. В результате приходим к уравнению

= f (N) = dN (t) / dt = [а (t) - β (t)] N (t), a > 0, β > 0. (1)

похожему на уравнение радиоактивного распада и совпадающего с ним при а < β (если а и β постоянные) – при их выводе использовались одинаковые соображения.

Интегрирование уравнения дает

N (t) = N (0) exp , или N (t) 

где N (0) = N (t= t₀) – начальная численность.

Изменение численности популяции со временем

Из полученного равенства следует, что если a > β, то при t → ∞ число особей х → ∞. С другой стороны, если а < β, то х →0 при t → ∞ и популяция становится вымирающей.

На рисунке приведены графики функции при постоянных а и β (разным подобным кривым соответствуют разные t₀ - значения времени начала процесса). При а = β численность остается постоянной, т.е. в этом случае решением уравнения является равновесная величина N (t) = N (0). Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво – даже небольшое нарушение приводит ко все большему отклонению функции N (t) от равновесного значения N (0).

Рассмотрен идеальный случай – сложнейший процесс изменения численности популяции не отвечает реальности – зависит, например, от скорости воспроизводства (определяется частотой встреч особей различного пола), ограниченности доступных ресурсов и др.

Популяционные модели становятся нелинейными, если принять во внимание некоторые дополнительные соображения (скорость воспроизводства определяется частотой встреч особей различного пола, ограниченность доступных ресурсов и др.).

В этом случае в дифференциальном уравнении функция f (N) – нелинейная.