4.7.2 Идеальный газ в силовом поле. Барометрическая формула

Молекулы идеального газа, находящиеся в пространстве, где отсутствует силовое поле и поддерживается постоянная тем­пература, стремятся равномерно заполнить весь предоставленный газу объем. Если газ находится в силовом поле, то существуют силы, которые сообщают хаотически движущимся молекулам направленное движение. Тогда при динамическом равновесии в различных элементах пространства устанавливаются различные концентрации молекул и давление. В таких условиях находится, например, газ, составляющий атмосферу Земли.

Найдем закон изменения давления газа в зависимости от высоты над уровнем моря, полагая, что газ идеальный, темпера­тура его постоянна и не изменяется с высотой, ускорение свобод­ного падения не зависит от высоты. Последние два предположе­ния справедливы при относительно небольших изменениях высоты. Обозначим давление газа на уровне моря (высота h = 0 ) р₀, давление на некоторой высоте h обозначим р_h (рисунок 52). Известно, что давление жидкости на глубине h определяется по формуле (3.97):

Для газа эта формула в представленном виде не применима, так как плотность газа ρ непостоянная величина. Её значение зависит от давления, а, следовательно, от высоты, на которой оно определяется. Но эта формула может быть применена к такому тонкому слою газа dh, для которого изменением плотности можно пренебречь:

(4.28)

Знак ( - ) в формуле (4.28) обусловлен тем, что с увеличением высоты на dh давление газа уменьшается на dр. Из уравнения состояния газа плотность газа связана с давлением по формуле:

(4.29)

Подставим выражение (4.29) в формулу (4.28), произведём разделение

переменных и проинтегрируем:

,

,

, (4.30)

или:

, (4.31)

где µ и т₀ - молярная масса газа и масса одной молекулы соответственно. Формула (4.30), как и (4.31), являются двумя формами записи барометрической формулы. Она выражает зависимость давления от высоты над уровнем, который принят за нулевой, например, уровень моря или поверхность земли. На основе барометрической формулы разработаны альтиметры - приборы для определения высоты.

Согласно предположениям, приведённым в начале данного параграфа, барометрическая формула справедлива для небольших высот (g = сопst) изотермической атмосферы.

4.7.3 Распределение Больцмана

Пользуясь барометрической формулой (4.31), можно по­лучить закон изменения концентрации газа с высотой. Учитывая, что р = nkT, р₀ = n₀kT, где п и п₀ — концентрации молекул соответственно на высоте h и h₀, и подставляя р и р₀ в формулу (4.31), получим закон убывания числа молекул с высотой:

= . (4.32)

Полученное распределение Больцмана справедливо для по­ля тяготения. Однако, оно справедливо и для газа, находящегося в любом дру­гом потенциальном поле. При этом величина m₀gh заменяется на W_п – потенциальную энергию молекулы в произвольном силовом поле:

. (4.33)

Таким образом, число частиц убывает с высотой по экспоненциальному закону. Если в закон распределения молекул по скоростям Максвелла (формула 4.22) подставить вместо п распределение Больцмана (4.33), получим распределение Максвелла – Больцмана, описывающее распределение молекул по скоростям во внешнем силовом поле.

Распределение Больцмана может быть использовано для определения числа Авогадро:

.