4.24.2 Средняя длина свободного пробега Средняя скорость теплового движения газовых молекул, составляет сотни

и тысячи мет­ров в секунду. Однако запах пахучего вещества распространяется со скоростью, намного меньшей. Медленность диффузии и анало­гичных ей явлений объясняется столкновениями молекул. В момент столкновения скорость молекулы резко изменяется как по величине, так и по направлению. В результате траектория молекулы получается не прямой, а ломаной. Для характеристи­ки такого движения введено понятие длины свободного пробега. Это путь <  >, пройденный молекулой между двумя последова­тельными столкновениями. Длина свободного пробега все время меняется. Поэтому следует говорить о средней длине свободного пробега <  >, как о среднем пути между двумя последовательными столкновениями. Очевидно, что

< > = , (4.102)

где < υ > - средняя скорость молекулы, <Z> — среднее число столкновений, испытываемых молекулой за секунду.

Будем рассматривать молекулы как шарики радиусом r.

Молекула при своем движении столкнется только с теми молекулами, центры кото­рых лежат внутри ломаного цилиндра радиусом 2r (осью цилиндра является траектория молекулы), изображённого на рисунке 70. Следовательно, сред­нее число столкновений за секунду равно числу молекул в объеме V ломаного цилиндра <Z > = n₀ < υ >, где n₀ - число молекул в единице объема. Объем ломаного цилиндра можно приравнять к объему спрямленного цилиндра высотой < υ > и площадью основания  (2r)². Поэтому

<Z> = 4 r² n₀ < υ >. (4.103)

Поскольку движется не одна, а все молекулы, то в выражение для <Z> должна входить не абсолютная скорость (относительно стенок сосуда) молекулы, а её скорость относительно тех молекул, с которыми она сталкивается. Показано, что υ _отн = < υ >, тогда <Z > = 4  r² n₀ < υ >.

Средняя длина свободного пробега молекулы:

_(4.104)

где d – эффективный диаметр молекулы. Заменив n₀ величиной p/kT, получим

<> = ,

Таким образом, средняя длина свободного пробега молекулы обратно пропорциональна давлению:

<>  .

4.24.3 Диффузия газов

Рассмотрим более простой случай диффузии, а именно – самодиффузию. Пусть в некотором объёме вдоль оси ОХ возникла неоднородность плотности газа (рисунок 71). Тепловое движение молекул будет стремиться выровнять эту

неоднородность и приведёт к равномерному распределению молекул по объёму. Этот процесс будет сопровождаться направленным переносом массы через площадь dS вдоль оси ОХ.

Н аблюдения показывают, что при диффузии газа через некоторую площадку dS, перпендикулярную оси ОХ, переносится тем большая масса dМ, чем больше dS, время переноса dt и чем быстрее меняется плотность в направлении перпендикулярном к площадке dS, т.е. в нашем случае вдоль оси ОХ (рисунок 71). Пусть плотность газа в некоторых двух точках, отстоящих друг от друга на dх, отличается на величину dρ. Величина dρ/dх, характеризующая скорость изменения плотности в направлении ОХ,

называется градиентом плотности. Таким образом:

. (4.105)

Коэффициент пропорциональности D, зависящий от сорта газа и от условий, в которых он находится, называется коэффициентом диффузии. Знак « - » указывает на то, что масса переносится в сторону убывания плотности. Закон диффузии, описываемый выражением (5.105), был экспериментально установлен Фиком и называется первым законом Фика.

Из уравнения (4.105) следует, что коэффициент диффузии численно равен массе, переносимой в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной направлению переноса, при градиенте плотности газа равном единице. В СИ единицей коэффициента диффузии является м² / с.

Р ассмотрим теперь процесс диффузии с молекулярно – кинетической точки зрения. Пусть концен­трация газа вдоль оси Х убывает слева направо (рисунок 72). В результате диффузии происходит выравни­вание концентраций молекул. Вычислим массу га­за dМ , перемещающего­ся через площадку dS за время dt.

Мысленно выделим по обе стороны от dS кубические объёмы А и В на расстоянии < λ > от dS , такие, что ℓ² = dS. Обозначим число молекул в объёме А через п_А, в объёме В – п_В. Процесс диффузии газа вследствие хаотичности теплового движения молекул происходит вдоль оси ОХ как слева направо, так и справа налево (рисунок 72). Благодаря хаотичности движения молекул можно счи­тать, что вдоль оси ОХ движется одна треть от общего коли­чества молекул, причем половина из них движется слева направо, а половина — справа налево. Таким образом, слева направо к площадке dS движется молекул. Так как эти молекулы находятся от dS на расстоянии, равном средней длине свободного пробега < >, то они все пройдут через dS.

Будем также считать, что все молекулы имеют среднюю скорость <υ>. Тогда через пло­щадку dS за время dt слева направо пролетит число моле­кул, равное

, (4.106)

где п_0А – концентрация молекул в объёме А.

В то же время справа налево пролетит число молекул из объёма В, равное

. (4.107)

Взяв разность выражений (4.106) и (4.107), получим число молекул, продиффундировавших через площадку dS за время dt: dп = d(п_А – п_В ).

_(4.108)

где разность концентраций молекул n_0А – n_0В выражена через градиент концентрации . Так как

, то .

Умножив dп на массу одной молекулы m₀, найдем массу газа, продиффундировавшего через площадку dS за время dt:

. (4.109)

_{Плотность газа обозначим через r, тогда r = т0 п0 и выражение (4.109) можно переписать так:}

_{. (4.110)}

Это выражение совпадает с экспериментальным законом диффузии (4.105) (первый закон Фика):

Сопоставив (4.105) и (4.110), получим формулу коэффи­циента диффузии для газов:

(4.111)

Это чрезвычайно важное соотношение. Коэффициент диффузии газа можно измерить опытным путем. Зная D, мож­но по вычисленной или измеренной скорости найти сред­нюю длину свободного пробега.

Единица коэффициента диффузии в СИ – м²/с.

Средняя длина свободного пробега молекул <λ> обратно пропорциональна давлению (см. п. 4.4.2), средняя скорость молекул не зависит от давления. Следовательно, коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению. При постоянном объёме зависимость коэффициента диффузии от температуры определяется зависимостью от температуры средней скорости молекул, которая, как известно пропорциональна . Таким образом, коэффициент диффузии зависит от давления и температуры:

D ~ 1/р и D ~ .

Введём обозначение:

j_т =ΔМ/(ΔS Δt). (4.112)

Это выражение определяет массу, диффундирующую в единицу времени через единицу площади, расположенной перпендикулярно направлению диффузии, и называется плотностью потока массы. Тогда закон Фика для одномерной диффузии можно записать в виде:

, или j_m = - gradρ. (4.113)

При выводе уравнения (4.110) предполагалось, что разность концентрации молекул не изменяется за время, в течение которого рассматривается процесс диффузии. Это возможно в том случае, если разность концентраций молекул поддерживается постоянной за счет внешнего источника молекул, т. е. диффузия стационарная. Если такого источника нет, то разность концентраций ме­няется во времени,— диффузия нестационарная.

Если молекулы взаимно диффундирующих газов имеют разные массы, то закон Фика имеет более сложный вид, но общий характер явления остается тем же.

4.24.4 Внутреннее трение в газах

Внутреннее трение это явление переноса, которое возникает в жидкости или газе при неоднородности скоростей направленного движения отдельных слоёв. Такая ситуация возникает, например при движении газа в трубопроводах. Тепловое движение стремится выровнять эту неоднородность.

Внутреннее трение сопровождается направленным переносом импульса.

Пусть в некотором объёме газа различные его слои движутся с разными скоростями и перпендикулярно оси ОХ (рисунок 73). Рассмотрим площадку dS, расположенную параллельно движущимся слоям. Построим вдоль оси ОХ векторы скорости течения газа и; эти скорости убывают в положительном направлении оси ОХ.

Взаимодействие соседних слоев газа осуществляется путем передачи некоторого количества движения от одного слоя газа к другому: из одного слоя молекулы, имеющие массу m₀ и скорость движения в газовом потоке и₁, пролетают в соседний слой. Следовательно, они переносят количество д вижения m₀ u₁. Здесь речь идет не о количестве движения т₀ υ, которое имеют молекулы, благодаря наличию у них тепловой скорости υ. Это коли­чество движения т₀ υ мы сейчас не рассматриваем, хотя каж­дая молекула обладает таким количеством движения. Речь идет о количестве движения т₀u, которое имеет молекула благодаря поступатель­ному движению всей массы газа. Молекула, перелетевшая из слоя газа, двигающегося с большей скоростью u₁, в соседний слой, двигающийся с меньшей скоростью u₂ , переносит в «медленный» слой некоторое количество движения т₀(u₁ - u₂) и ускоряет его. Молекула, перелетевшая из слоя, имеющего меньшую скорость u₂, в слой с большей скоростью u₁, тормозит этот слой и умень­шает его количество движения.

Таким образом, механизм внутреннего трения заклю­чается в переносе молекулами импульса из одного слоя газа в другой.

Наблюдения показывают, что импульс dp, переносимый через площадку dS, перпендикулярную оси ОХ, тем больше, чем больше величина площадки dS, время переноса dt и чем скорее меняется скорость слоёв газа в направлении перпендикулярном к площадке dS, т.е. в нашем случае вдоль оси ОХ (рисунок 73). Пусть скорость слоёв газа в некоторых двух точках, отстоящих друг от друга на dх, отличается на величину dи. Величина dи/dх, характеризующая быстроту изменения скорости слоёв в направлении ОХ, называется градиентом скорости. Таким образом:

. (4.114)

(4.114) – уравнение переноса для внутреннего трения. Величина η, зависящая

от сорта газа и от условий, в которых он находится, называется коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкостью. Знак « - » указывает на то,

что импульс переносится в сторону убывания скорости.

Из уравнения (4.114) следует, что динамическая вязкость численно равна импульсу, переносимому в единицу времени через единицу площади,

перпендикулярной направлению переноса, при градиенте скорости движения слоёв газа равном единице.

Единица динамической вязкости в СИ – Па ^. с (паскаль на секунду) .

Рассматривая явление внутреннего трения с молекулярно – кинетической точки зрения (аналогично предыдущему параграфу), можно показать, что:

, (4.115)

где ρ – плотность газа.

Так как <υ> ~ , то, как и коэффициент диффузии, коэффициент внутреннего трения зависит от температуры:

η ~ .

Так как ρ ~ п₀ ~ р, а <λ> ~ 1/р, то коэффициент внутреннего трения, в отличие от коэффициента диффузии, не зависит от давления. Это очень важ­ный результат. Можно менять давление в весьма широких пределах, а коэффициент внутреннего трения газа будет оставаться постоянным. Это положение, однако, становится неверным для силь­но разреженных газов, т. е. для таких газов, у которых длина свободного пробега молекул больше, чем линейные размеры, сосуда, в котором заключен газ. В этом случае молекулы движутся от одной стенки сосуда до другой, не сталкиваясь друг с другом, длина свободного пробега  оказывается постоянной величиной, и формула (4.115) для расчета h становится неверной.

Мы предположили, что все молекулы имеют одинаковую среднюю скорость и. Если произвести более строгий рас­чет, учитывая максвелловское распределение скоростей, то вместо коэффициента 1/3 в формуле (4.115) появится коэффициент 0,31.

Если разделить обе части уравнения (4.114) на dt, то уравнение переноса для внутреннего трения приводит к закону Ньютона для внутреннего трения, рассмотренному нами в разделе 4.9. Действительно, по второму закону Ньютона dp/dt = F. Таким образом:

(4.116)

где F – касательная сила внутреннего трения, действующая на поверхность

слоя dS. Как из­вестно из механики, формула (4.116) называется законом Ньютона для внутреннего трения. Разделим обе части равенства (4.116) на dS и учтём, что сила вязкого трения, действующая на единицу площади

движущегося слоя газа, называется напряжением τ. Итак, получим:

или τ = – η grad u. (4.117)

Уравнение (4.117) ещё один вид уравнения внутреннего трения.

Напряжение τ считается положительным, если сила внутреннего трения, действующая на поверхность слоя газа, совпадает по направлению со скоростью этого слоя, т.е. сила трения ускоряет слой. Напряжение считается

отрицательным, если сила внутреннего трения замедляет слой газа.

Из уравнения (4.114) следует, что

τ = dp/ (dS dt) = j_p,

т.е. напряжения трения можно рассматривать как плотность потока импульса j_p – импульс, переносимый в единицу времени через единицу площади, расположенной параллельно движущимся слоям газа. Таким образом, ещё одна форма записи уравнения внутреннего трения имеет вид:

j_p = = – η grad u. (4.118)