4.18 Цикл Карно

Анализируя работу тепловых двигателей, Карно пришел к выводу, что наивыгоднейшим процессом является обратимый круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, так как он характеризуется наибольшим коэффициентом полез­ного действия. Такой цикл получил название цикла Карно. Цикл Карно ограничен двумя изотермами (1  2 и 3  4) и двумя адиабатами (2  3 и 4 1) (рисунок 63). Рассмотрим обратимый цикл Карно, совершаемый идеальным газом.

При изотермическом процессе (1  2) внутренняя энергия идеального газа остается постоянной. Поэтому работа А₁₂, со­вершаемая газом за счет полученного от нагревателя количества теплоты Q₁, равна:

, (4.73)

г де m - масса идеального газа в машине.

Количество теплоты Q₂, отдаваемое хо­лодильнику, равно работе А₃₄, затрачиваемой на сжатие газа при переводе его из состояния 3 в состояние 4.

. (4.74)

Покажем, прежде всего, что такой процесс (из двух изотерм и двух адиабат) осуществим в виде замкнутого цикла.

Для этого напишем уравнение для адиабатного расширения газа от объема V₂ до V₃, используя уравнение адиабаты:

.

Напишем аналогичное уравнение для адиабатного сжатия газа от объёма V₄ до объема V₁:

,

откуда

_,

Это условие осуществимо, поэтому цикл Карно может существовать в виде замкнутого процесса.

Подсчитаем к.п.д. идеальной тепловой машины Карно.

или . (4.75)

Подставляя в эту формулу вместо Q₁ и Q₂ их значения, получим:

Выразив в этой формуле через и сократив на ln , получим:

. (4.76)

Таким образом, чем выше температура нагревателя и чем ниже температура холодильника, тем выше к.п.д.

Формула ( 4.76) выражает коэффициент полезного действия идеального обратимого цикла Карно. Изменение объема рабочего тела в этом процессе проводилось обратимым путем, что обеспечивает максимум совершаемой при этом работы. Это значит, что были обеспечены наилучшие условия для использования тепловой энергии. Поэтому более высокий к.п.д., чем представленный формулой (4.76) принципиально получить нельзя.

Любая тепловая машина, работающая при данных значениях температур нагревателя и холодильника, не может иметь к.п.д. больший, чем машина, работающая по обратимому циклу Карно при тех же значениях температур нагревателя и холодильника (это утверждение называется первой теоремой Карно).

Из формулы (4.76) видно, что коэффициент полезного действия тепловой машины не за­висит от свойства рабочего тела и устройства тепловой машины. Следовательно, мы приходим к утверждению, что коэффициент полезного действия всех обратимых машин, работающих в идентичных условиях (т.е. при одних и тех температурах нагревателя и холодильника) одинаков и определяется только температурами нагревателя и холодильника. Это утверждение носит название второй теоремы Карно.

Любой реальный процесс является необратимым. Необратимый процесс, как известно, графически изобразить нельзя. Но его можно заменить эквивалентным ему обратимым процессом, таким образом, что А = А_необр, Q = Q_необр. Рассмотрим необратимый цикл Карно, совершаемый рабочим телом, которое обменивается теплотой с двумя телами (нагревателем и холодильником) с температурами Т₁ и Т₂. Пусть необратимость обусловлена тем, что теплообмен между рабочим телом и нагревателем, рабочим телом и холодильником, происходит при конечной разности температур. Чтобы получить теплоту от нагревателя температура рабочего тела должна быть ниже температуры нагревателя на Т₁. Чтобы теплота была передана от рабочего тела холодильнику, температура рабочего тела должна быть выше температуры холодильника на Т₂. Тогда для необратимого цикла формула (5.76) примет вид:

. (4.77)

_{Таким образом, коэффициент полезного действия необратимого цикла Карно меньше, чем для обратимого цикла:}

_{необр .}

Можно показать, что если рассматривать произвольный обратимый процесс (не цикл карно), а тем более произвольный необратимый процесс, то у них коэффициент полезного действия меньше, чем у обратимого цикла Карно.

Таким образом, для любого кругового процесса

. (4.78)

Знак “= ” имеет место для обратимого цикла Карно, а “ ” для всех других циклов. Формула (4.78) является одним из математических выражений второго начала термодинамики. Из формулы (4.78) следует:

.

Таким образом, рассмотрение цикла Карно позволяет установить количественный критерий для теплоты Q_2, меньше которого не может быть потеряно (передано холодильнику), чтобы при любом рабочем цикле получить работу А за счет тепла Q₁ – Q₂, взятого от нагревателя.