5.4 Силовые линии. Поток вектора напряженности

Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности (силовых линий).

Л инии напряженности, это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора в этой точке (рисунок 77). Силовым линиям приписывается направление, совпадающее с направлением вектора напряженности. Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, их проводят с определенной густотой: число силовых линий, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярной линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора .

Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности - радиальные прямые, выходящие из положительного заряда, и входящие в отрицательный заряд.

Э лектрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. Однородное поле изображается силовыми линями одинаковой густоты.

Число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль к которой образует угол α с вектором (рисунок 78), равно:

dФ_Е = ЕdScosα = E_ndS, (5.17)

где dФ_Е – элементарный поток вектора напряженности через площадь dS.

Полный поток через произвольную поверхность S в произвольном электростатическом поле (рисунок 79) определится по формуле:

Ф_Е = ∫ Е^.dS cosα = ∫E_ndS = ∫ , (5.18)

где . Таким образом, электрический поток– скалярная величина. Он определяется через скалярное произведение векторов и . В частном случае: для плоской поверхности в однородном электрическом поле формула для

потока вектора напряжённости имеет вид:

Ф_Е = Е^.Scosα = E_n S = . (5.19)

Поток вектора напряженности зависит не только от конфигурации поля, но и от выбора направления вектора . Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью.

Аналогично потоку вектора напряженности (формулы (5.18), (5.19)) вводится понятие потока вектора электрической индукции через произвольную поверхность:

Ф_D = ∫ D^.dS cosα = ∫D_ndS = ∫ ,

Для однородного поля поток вектора через плоскость ΔS:

Ф_D = D^. ΔS cosα = D_n ΔS = .

Единица потока вектора напряженности 1 В^.м.

Единица потока вектора электрической индукции – 1 Кл = 1 Ф^.В.

5. Работа в электрическом поле

Рассмотрим работу электростатических сил при перемещении заряда +q из

точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рисунок 80). Работа силы при элементарном перемещении d равна:

dA = ^.d = Fdlcos = dlcos. (5.20)

Так как dlcos = dr, то

dA = dr.

Работа по перемещению заряда q₀ из точки 1 в точку 2 :

. (5.21)

Из уравнения (5.21) следует, что работа электрического поля по перемещению заряда не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек, следовательно, кулоновские силы - консервативные, а электростатическое поле – потенциальное. Работа сил электростатического поля при движении электрического заряда по любой замкнутой траектории равна нулю. Если величина перемещаемого заряда равна единице, то работа по замкнутому контуру выразится формулой:

. (5.22)

Интеграл (5.22) называется циркуляцией вектора напряжённости электростатического поля. Равенство циркуляции нулю является необходимым и достаточным условием потенциальности поля.

Работа потенциального поля равна изменению потенциальной энергии, взятой со знаком минус:

(5.23)

Отсюда следует, что потенциальная энергия заряда q₀ в поле заряда q равна:

+ С, (5.24)

где С – произвольная постоянная, зависящая от выбора системы отсчета. Если принять что при удалении заряда в бесконечность его потенциальная энергия становится равной нулю, то С = 0 и

W_p = . (5.25)