7.2 Закон Био-Савара-Лапласа

М агнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж.Био (1774-1862) и Ф.Саваром (1791-1841). Результаты этих опытов были обобщены французским математиком П.Лапласом, который предположил, что для магнитного поля, так же как и электрического, справедлив принцип суперпозиции. Согласно этому принципу, вектор индукции магнитного поля, порождаемого несколькими движущимися зарядами (токами), равен векторной сумме индукций полей d , порождаемых каждым зарядом (током) в отдельности.

Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I (рисунок 100), элемент которого d создает в некоторой точке А индукцию поля d , записывается в виде:

d = , (7.2)

где - вектор, по модулю равный длине элемента проводника и совпадающий по направлению с током; - радиус-вектор, проведенный из элемента проводника в точку А поля, в которой определяется d , r – модуль радиуса-вектора. По правилу векторного произведения (правого винта) направление d перпендикулярно и , т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к силовой линии магнитного поля, проходящей через точку А (рисунок 100).

Модуль вектора d :

dB = . (7.3)

Закон Био-Савара-Лапласа для вектора напряжённости магнитного поля, согласно формуле (7.1), имеет вид:

d = , (7.4)

d = . (7.5)

Единицей вектора индукции магнитного поля в СИ является Тесла (Тл): 1 Тл = 1 Н/(А^. м).

Единица вектора напряжённости магнитного поля - Ампер/метр (А/м).

Величина магнитного поля, создаваемого проводником произвольной длины, согласно принципу суперпозиции, определится как векторная сумма магнитных полей, создаваемых элементами dl проводника с током:

,

. (7.6)

7.3 Магнитное поле прямолинейного проводника с током

В качестве примера применения закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции к расчёту магнитных полей рассмотрим магнитное поле тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины. В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа “к нам”, (см. рисунок 101). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. В качестве переменной интегрирования выберем угол , выразив через него все остальные величины.

r = ; dl = ; dB = ^. sinα.

B = = = . .

В = . ; (7.7)

Н = . . (7.8)

7.4 Закон Ампера

В 1820 г Андре Ампер установил выражение для силы, действующей на отдельный элемент тока. Он установил, что сила , с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током , находящийся в магнитном поле с индукцией , равна:

(7.9)

Если вектор параллелен току, то магнитное поле не оказывает никакого действия на ток. Формула (7.9) получила название закона Ампера. Модуль силы Ампера

, (7.10)

где  - угол между векторами и .

Н аправление силы Ампера находится по правилу векторного произведения (правого винта): перпендикулярен плоскости векторов и , и направлен так, что, если головку винта вращать от вектора к вектору , то поступательное движение винта укажет направление (рисунок 102).

Можно также воспользоваться правилом левой руки: если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по направлению тока, то отогнутый на 90⁰ большой палец покажет направление силы, действующей на отрезок проводника.

Для прямолинейного проводника с током в однородном магнитном поле закон Ампера примет вид:

. (7.11)

Закон Ампера позволяет определить физический смысл вектора :

. (7.12)

Из формулы (7.12) следует: вектор индукции магнитного поля это физическая величина, численно равная силе, действующей на единицу длины перпендикулярного полю проводника с током 1А.