6.6 Элементарная классическая теория электропроводности металлов

6.6.1 Экспериментальные подтверждения теории

Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т. е. электроны, не связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости, созданной немецким физиком П. Друде (1863—1906) и доработанной впоследствии нидерландским физиком X. Лоренцем, а также на ряде классических опытов, подтверждающих положения электронной теории.

Первый из таких опытов – опыт немецкого физика Рикке (1901), в котором в течение года электрический ток пропускался через три последовательно соединенных металлических цилиндра (Си, А1, Си) с тщательно отшлифованными торцами одинакового радиуса. Несмотря на то, что общий заряд, прошедший через эти цилиндры, достигал огромного значения (3,5^.10⁶ Кл), никаких, даже микроскопических, следов переноса вещества не обнаружилось. Это явилось экспериментальным доказательством того, что в металлах ионы не участвуют в переносе электричества, а перенос заряда в металлах осуществляется частицами, которые являются общими для всех металлов. Такими частицами могли быть открытые в 1897 г. английским физиком Д. Томсоном (1856-1940) электроны.

Для доказательства этого предположения необходимо было определить знак и величину удельного заряда носителей (отношение заряда носителя к его массе). Идея подобных опытов заключалась в следующем: если в металле имеются подвижные, не связанные с решеткой носители тока, то при резком торможении проводника эти частицы должны по инерции смещаться вперед. Результатом смещения зарядов должен быть импульс тока. По направлению тока можно определить знак носителей тока, а, зная размеры и сопротивление проводника, можно вычислить удельный заряд носителей. Эти опыты были проведены шотландским физиком Б. Стюартом и позже, в 1916 г., американским физиком Р. Толменом. Ими экспериментально доказано, что носители тока в металлах имеют отрицательный заряд, а их удельный заряд приблизительно одинаков для всех исследованных металлов. По значению удельного заряда носителей электрического тока и по определенному ранее Р. Милликеном элементарному электрическому заряду была определена их масса. Оказалось, что значения удельного заряда и массы носителей тока в металлах и электронов, движущихся в вакууме, совпадали. Таким образом, было окончательно доказано, что носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны.

Существование свободных электронов в металлах можно объяснить следующим образом: при образовании кристаллической решетки металла (в результате сближения изолированных атомов) валентные электроны, сравнительно слабо связанные с атомными ядрами, отрываются от атомов металла, становятся «свободными» и могут перемещаться по всему объему. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электро­ны.

6.6.2 Основные положения теории

Согласно классической теории электропроводности свободные электроны металла можно рассматривать как электронный газ, подчиняющийся всем законам одноатомного идеального газа. Электроны проводимости при своем движении сталкиваются с ионами решетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. По теории Друде-Лоренца, электроны обладают такой же энергией теплового движения, как и молекулы одноатомного газа. Поэтому, применяя выводы молекулярно-кинетической теории, можно найти среднюю скорость теплового движения электронов  u = , которая для Т = 300 К оказалась равной 1,1^.10⁵ м/с. Тепловое движение электронов, являясь хаотическим, не может привести к возникновению тока.

Расстояние, которое при тепловом движении проходит электрон между двумя последовательными столкновениями с ионами кристаллической решётки, называется длиной свободного пробега. В классической теории электропроводности предполагается, что средняя длина свободного пробега <ℓ> ~ 10^-8 см, т.е. порядка расстояния между узлами кристаллической решётки.

При наложении внешнего электрического поля на металлический проводник, кроме теплового движения электронов, возникает их упорядоченное движение, т. е. возникает электрический ток. Среднюю скорость υ упорядоченного движения электронов мож­но оценить согласно формуле для плотности тока: j = пе υ. Выбрав допустимую плотность тока, например для медных проводов 10⁷ А/м², получим, что при концент­рации носителей тока n = 8^.10²⁸ м³, средняя скорость  υ упорядоченного движения электронов равна 7,8^.10^-4 м/с. Следовательно,  υ   u, т. е. даже при очень боль­ших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов, обуслов­ливающего электрический ток, значительно меньше их скорости теплового движения. Поэтому при вычислениях результирующую скорость  υ +  u можно заменять скоростью теплового движения  υ. Казалось бы, полученный результат противоречит факту практически мгновенной передачи электрических сигналов на большие расстояния. На самом деле противоречия нет. Дело в том, что замыкание электрической цепи влечет за собой распространение электрического поля со скоро­стью света с (с = 3^.10⁸ м/с). Через время t = l/c (l - длина цепи) вдоль цепи установится стационарное электрическое поле, и в ней начнется упорядоченное движение электро­нов. Поэтому электрический ток возникает в цепи практически одновременно с ее замыканием.

Критерием справедливости любой теории является подтверждение её выводов экспериментальными данными. Покажем, что теория Друде-Лоренца правильно объясняет экспериментально установленные законы постоянного тока.

6.6.3 Закон Ома в классической теории

Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью Е = const. Со стороны поля заряд е испытывает действие силы F = еЕ и приобретает ускорение

а = F/m = еЕ/ т.

Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скорость

υ_max = eE t /m,

где  t  - среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. Согласно теории Друде, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядоченного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направленного движения электрона

< υ> = (υ_max + 0)/2 = eE t /2m. (6.31)

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоростям, поэтому среднее время  t свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега < ℓ > и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной <υ> + <u> (< u > – средняя скорость теплового движения электронов). Так как <υ>   u, то  t = <ℓ >/ u. Подставив значение <t> в формулу (6.106), получим :

< υ> = eE< ℓ >/2m u.

Определим плотность тока в металлическом проводнике:

j = пе< υ> = , (6.32)

откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т. е.

j ═ γΕ.

Получили закон Ома в дифференциальной форме. Таким образом, в отношении закона Ома классическая теория электропроводности не только приводит к результату, согласующемуся с экспериментом, но и даёт выражение для удельной проводимости металла:

 = . (6.33)

Из этого выражения следует, что удельная проводимость тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

6.6.4 Закон Джоуля-Ленца в классической теории

К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию:

w_к₀ = = . (6.34)

При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передаётся решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т. е. на его нагревание. За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем < z> столкновений:

 z =  u/<ℓ>.

Если n - концентрация электронов, то в единицу времени происходит n z столкновений, и решетке передается энергия w = n^.z ·<w_к>₀, которая идет на нагревание проводника. Таким образом, энергия, передаваемая решетке в единице объема проводника за единицу времени:

w = . (6.35)

Величина w является удельной тепловой мощностью тока. Коэффициент пропорциональности между w и Е² представляет собой удельную проводимость . Следовате­льно, выражение для w представляет собой закон

Джоуля — Ленца в дифференциальной форме:

w = gE² , (6.36)

таким образом, получили результат, согласующийся с экспериментом.

6.6.5 Трудности классической теории электропроводности металлов

Вывод основных законов электрического тока с единых позиций явился в своё время триумфом классической электронной теории. Однако вскоре обнаружилось, что имеется ряд опытных фактов, объяснить которые классическая теория не смогла. Остановимся на некоторых из этих фактов.

а) Из формулы удельной проводимости (6.33) следует, что сопротивление металлов, т. е. величина, обратно пропорциональная , должна возрастать пропорционально : концентрация электронов n и их средняя длина свободного пробега <ℓ> от температуры не зависят, а < u > ~ . Этот вывод электронной теории противоречит опытным данным, согласно которым R  T. Таким образом, классическая теория электропроводности не смогла объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость сопротивления проводников от температуры.

в) Чтобы по формуле  = получить , совпадающее с опытными значениями, надо принимать <ℓ> порядка сотен расстояний между узлами кристаллической решётки, что не согласуется с теорией Друде-Лоренца.

с) По классической теории электропроводности атомная (т. е. рассчитанная на 1 моль) теплоемкость металла с складывается из теплоемкости его кристаллической решетки (с_реш.) и теплоемкости электронного газа (с_э.г.). Учтем, что теплоемкость одноатомного электронного газа равна ( i_э.г../ 2) R = =(3/2)R, теплоёмкость решётки ( i_реш./2)R = ( 6/2) R, где i – степени свободы. Таким образом, по классической теории имеем:

с = с_э.г + с_реш = (3/2)R +3 R = 4,5R.

Однако опыт доказывает, что для металлов, так же как и для диэлектриков, хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти, а именно атомная теплоемкость металла мало отличается от теплоёмкости других твёрдых тел и примерно равна 3R. Таким образом, получается, что электроны проводимости практически не вносят вклад в теплоёмкость металла (при возрастании температуры кинетическая энергия свободных электронов не изменяется). Этот факт не объясняется классичес­кой электронной теорией.

Трудности классической теории электропроводности объясняются тем, что она была очень упрощённой. Даже введение уточнений на то, что электроны проводимости подчиняются статистике Максвелла-Больцмана, не спасло теорию, а привело к ещё большим расхождениям с экспериментом. Указанные расхождения теории с опытом были устранены в квантовой теории. Позже было установлено, что движение электронов в металлах подчиняется, не законам классической механики, а законам квантовой механики, и, следовательно, поведение электронов проводимости надо описывать не статистикой Максвелла-Больцмана, а квантовой статистикой.

Надо отметить, что классическая электронная теория не утратила значения и до настоящего времени, так как во многих случаях (например, при малой концентрации электронов проводимости и высокой температуре) она дает правильные качественные результаты и является по сравнению с квантовой теорией простой и наглядной.