3.5 Динамика системы материальных точек

3.5.1 Основные понятия

Совокупность взаимодействующих между собой тел образует механическую систему. Если движение таково, что размеры и формы отдельных тел, образующих систему, не играют роли, то мы имеем дело с системой материальных точек.

Силы, действующие между телами, образующими систему, называются внутренними силами. Будем обозначать силу взаимодействия i – той и к – той точек .

Силы, действующие на тела, образующих систему, со стороны тел, не входящих в данную систему, называются внешними силами. Обозначим

результирующую внешних сил, действующих на i –тую точку .

Центром масс или центром инерции механической системы называют такую точку, радиус-вектор которой определяется по формуле:

, (3.46)

где m_i - масса i – той точки, – её радиус – вектор, т – масса всей системы. Соответственно, декартовы координаты центра масс определятся по формулам:

(3.47)

.

Скорость центра масс системы:

,

. (3.48)

Импульсом системы материальных точек называют геометрическую сумму импульсов материальных точек:

P .

Таким образом:

P . (3.49)

Импульс всей системы равен произведению массы всей системы на скорость центра масс.

3.5.2 Второй закон Ньютона для системы материальных точек

Рассмотрим систему материальных точек т₁, т₂, т₃, …, т_п. Пусть мгновенные скорости их движения На каждую i–тую точку действуют внутренние силы со стороны других точек системы и результирующая внешних сил . Запишем второй закон Ньютона для каждой точки:

……………………………………

.

Сложим левые и правые части уравнений. Сумма внутренних сил по третьему закону Ньютона будет равна нулю, вследствие чего

,

называют главным вектором всех внешних сил, действующих на систему.

. (3.50)

Согласно выражению (4.49) сумма в левой части формулы (4.50) есть суммарный импульс системы, равный импульсу центра масс, поэтому:

. (3.51)

Таким образом, скорость изменения полного импульса механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему.

Так как в классической механике m = const, то:

,

где - ускорение центра масс. Таким образом, центр масс механической системы движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе всей системы, под действием силы, равной главному вектору всех внешних сил, действующих на систему.

3.5.3 Закон сохранения импульса

Этот закон вытекает из второго и третьего законов Ньютона. Он справедлив только для изолированных систем.

Система называется изолированной или замкнутой, если для каждого внутреннего тела системы равнодействующая всех внешних сил, действующих на него, равна нулю.

Таким образом, в изолированной системе действуют только внутренние силы. Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из п материальных точек с массами т₁, т₂, т₃, …, т_п. Обозначим мгновенные скорости их движения , а силу, действующую на i – тую точку со стороны к – той точки системы – через . Тогда второй закон Ньютона для этой системы имеет вид:

.

По третьему закону Ньютона = - , поэтому и

,

следовательно:

P = сопst. (3.52)

Формула (3.52) является математическим выражением закона сохранения импульса: в замкнутой системе суммарный импульс есть величина постоянная.

Внутренние силы не могут привести к изменению полного импульса системы. Они приводят лишь к движению отдельных частей системы друг относительно друга.

Из формул (3.49) и (3.52) следует:

, (3.53)

таким образом, при процессах, происходящих в замкнутых системах, скорость центра масс не изменяется, центр масс находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.

Если составляющая результирующих внешних сил равна нулю только вдоль какой-либо одной оси, например ОУ, то количество движения вдоль этой оси не изменяется. Т.е. будучи вообще не замкнутой, в направлении оси ОУ система может рассматриваться как замкнутая.

Закон сохранения импульса, полученный нами как следствие законов Ньютона, является фундаментальным законом природы. Он справедлив не только в классической механике, но и в области микромира (для замкнутой системы микрочастиц). Как показывается в теоретической физике, закон сохранения импульса является следствием определенного физического свойства пространства - его однородности. Однородность пространства означает, что изменение выбора системы координат не должно отражаться на физических свойствах системы и законах ее движения.