7. Проводники в электростатическом поле

В проводниках имеются заряженные частицы, способные перемещаться под действием электрического поля. В металлах носителями свободных зарядов являются электроны. На рисунке 87(а) изображено однородное электростатическое поле напряжённостью . При помещении в электростатическое поле проводника (рисунок 87 в ) в проводнике происходит перераспределение зарядов: свободные электроны перемещаются против поля (притягиваются к положительному полюсу источника поля). Поэтому левая сторона проводника заряжается отрицательно. На правой стороне окажется недостаток электронов, поэтому она заряжается положительно. Это явление называется электростатической индукцией. Перемещение свободных электронов происходит до тех пор, пока возникшее по индукции электростатическое поле напряжённостью (на рисунке 87в его силовые линии изображены пунктиром) не скомпенсирует внешнее поле. При равновесии зарядов результирующее поле и электрический заряд внутри проводника равны нулю:

.

Именно поэтому напряженность электрического поля внутри проводящего шара (см. п. 6.1.10 ) равна нулю. На этом основана электростатическая защита. Весь статический заряд проводника сосредоточен на его поверхности.

5.9 Электроёмкость

5.9.1 Электроёмкость уединённого проводника

Опыты показывают, что различные проводники, заряженные одинаковыми зарядами, имеют разные потенциалы. Это говорит о том, что они обладают некоторым различным физическим свойством. Это свойство характеризуется величиной, называемой электроёмкостью (ёмкостью).

Ёмкость проводника зависит от окружающих тел, поэтому вводится понятие уединённого проводника. Проводник называется уединенным, если вблизи его нет других проводников и заряженных тел, способных повлиять на распределение зарядов на данном проводнике.

Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Если уединенному проводнику уже несущему заряд q сообщить еще заряд такой же величины, то второй заряд должен распределиться по проводнику точно таким же образом, как и первый, в противном случае он создаст в проводнике поле, отличное от нуля.

Различные по величине заряды распределяются на уединенном проводнике подобным образом (отношение плотностей заряда в двух произвольных точках поверхности проводника при любой величине заряда будет одним и тем же. ).

Увеличение в некоторое число раз заряда приводит к увеличению в то же число раз напряженности поля в каждой точке окружающего проводника пространства. Соответственно в такое же число раз возрастает работа переноса единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника, т.е. потенциал проводника. Отсюда вытекает, что потенциал уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду. Таким образом, для уединенного проводника q = C и

С = q / φ, (5.51)

где С - электроемкость (емкость) проводника.

Емкостью уединённого проводника называется физическая величина, численно равная заряду, при сообщении которого ранее незаряженному проводнику его потенциал принимает значение равное единице.

За единицу емкости принимается емкость такого проводника, потенциал

которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Эта единица емкости называется фарадой: 1 Ф = 1 Кл/В.

Уединенные проводники обладают небольшой емкостью (емкость Земли 700 мкФ). Емкостью в 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом 9^.10⁹ м, т.е. радиусом в 1500 раз большим радиуса Земли. Поэтому на практике пользуются единицами, равными долям фарады - миллифарадой (мФ), микрофарадой (мкФ), нанофарадой (нФ), пикофарадой (пФ):

1 мкФ = 10^-6 Ф; 1 пФ = 10^-12 Ф.

Формулу электрической емкости уединенного проводящего шара (сферы) можно получить, подставив в формулу (5.51) выражение для потенциала на поверхности заряженной сферы (5.44):

С = 4₀R.

5.9.2 Ёмкость неуединённого проводника

Если вблизи какого-либо проводника А имеются другие проводники, то его электроемкость больше, чем у такого же уединенного проводника. Это объясняется тем, что в процессе сообщения проводнику А заряда q, на окружающих его проводниках возникают индуцированные заряды (рисунок 88), при этом на сторонах, обращённых к проводнику А, оказываются заряды противоположные по знаку заряду q. Индуцированные заряды ослабляют поле заряда q и снижают потенциал проводника А, что и означает увеличение его электроемкости благодаря влиянию соседних проводников.

З а ёмкость неуединённого проводника принимают физическую величину, выражаемую формулой:

С = d q /d φ. (5.52)

Электроёмкостью неуединённого проводника называют физическую величину, численно равную заряду, который надо сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал на единицу.

Электроёмкость проводника зависит от окружающих проводник тел, от диэлектрических свойств окружающей среды, от размеров и формы проводника. Если проводник находится в однородной изотропной среде, заполняющей все поле, то его электроёмкость пропорциональна относительной диэлектрической проницаемости среды.

5.9.3 Взаимная электроёмкость двух проводников. Конденсаторы

Рассмотрим систему двух проводников, с одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами. Пусть абсолютная величина заряда каждого проводника q, а разность потенциалов проводников φ₁ - φ₂. Опыты показывают, что если проводники удалены от других заряженных тел или проводников, то φ₁ - φ₂ пропорционально заряду q: φ₁ - φ₂ = Сq и:

, (5.53)

где С – взаимная электроёмкость двух проводников. Итак:

взаимная электроёмкость двух проводников, удалённых от других тел и заряженных одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами, это скалярная величина, равная отношению абсолютного значения заряда одного из проводников к разности потенциалов между ними.

Взаимная электроёмкость двух проводников зависит от их размеров, формы, взаимного расположения и от диэлектрических свойств окружающей проводники среды.

Практический интерес представляют системы проводников, электроёмкость которых не зависит от окружающих тел. Такими системами проводников являются конденсаторы. Конденсатором называется система двух проводников, разделённых слоем диэлектрика, заряженных одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами. Форма и расположение проводников таковы, что поле сосредоточено практически полностью в узком зазоре между проводниками. Сами проводники называются в этом случае обкладками конденсатора. Под зарядом конденсатора понимают абсолютное значение заряда одной из обкладок.

Емкость конденсатора:

= . (5.54)

Электроёмкость конденсатора это физическая величина, равная отношению заряда q, накопленного на конденсаторе, к разности потенциалов (φ₁ - φ₂) между его обкладками. Разность потенциалов (φ₁ - φ₂) между обкладками конденсатора называется напряжением U между обкладками.

В плоском конденсаторе две параллельные металлические пластины площадью S каждая, расположены на расстоянии d друг от друга и имеют заряды +q и -q. Используя формулы (5.54) и (5.50), можно получить формулу ёмкости плоского конденсатора:

, (5.55)

где  - диэлектрическая проницаемость среды заполняющей пространство между пластинами. Можно показать, что ёмкость сферического и цилиндрического конденсаторов определяется, соответственно, по формулам (5.56) и (5.57):

, (5.56)

где R₁ и R₂ - радиусы концентрических сфер - обкладок сферического конденсатора;

С= , (5.57)

где h - высота цилиндров, R₁ и R₂ - радиусы цилиндров, концентрически вставленных один в другой.

Из приведённых формул для ёмкостей различных конденсаторов следует, что ёмкость конденсатора зависит от его размеров, формы и типа диэлектрика между обкладками.

5.9.4 Соединение конденсаторов

Каждый конденсатор характеризуется емкостью и максимальным рабочим напряжением. Если напряжение на конденсаторе сделается слишком большим, то конденсатор "пробивается" - между обкладками возникает искра, пробивающая изоляцию. Для получения нужной емкости при данном рабочем напряжении конденсаторы часто соединяют в батареи.

П ри параллельном соединении конденсаторов (рисунок 89) напряжение на всех конденсаторах одинаково: U₁ = U₂ =U₃ =···· = =U_n= U; суммарный заряд равен сумме зарядов на отдельных конденсаторах:

q = q₁ + q₂ + q₃ + ··· +q_n = .

Таким образом, результирующая емкость при параллельном соединении

С = С₁ + С₂ + С₃ + ···· + С_n . (5.58)

При последовательном соединении конденсаторов (рисунок 90), благодаря явлению индукции, одинаковым для всех конденсаторов будет заряд q, равный

полному заряду батареи:

q₁ = q₂ = q₃ = ··· = q.

Приложенное напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах:

U = U_{1 +} U₂ + U₃ + ··· + U_n.

Поэтому для всей батареи справедливо соотношение:

= =

Результирующая емкость при последовательном соединении конденсаторов определится из соотношения:

1/C = 1/C₁ + 1/C₂ + 1/C₃ + ···+ 1/С_n (5.59)

При последовательном соединении суммируются обратные величины емкостей. Если параллельно соединены n одинаковых конденсаторов и емкость каждого С₀, то ёмкость батареи конденсаторов С=С₀/n. Таким образом, при последовательном соединении n одинаковых конденсаторов емкость батареи в n раз меньше емкости отдельного конденсатора, во столько же раз напряжение на каждом конденсаторе меньше напряжения батареи, чем увеличивается допустимое напряжение батареи по сравнению с допустимым напряжением конденсатора.