3.4 Динамика материальной точки

3.4.1 Первый закон Ньютона.

Основные положения классической механики были сформулированы Ньютоном в 1687 году в виде трёх законов движения. Первый закон Ньютона: Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения при отсутствии воздействия со стороны других тел называется инерцией. Движение тела при отсутствии внешних воздействий называется движением по инерции. Поэтому 1 закон Ньютона называют законом инерции. Первый закон Ньютона установлен экспериментально. Системы отсчета, относительно которых выполняется 1 закон Ньютона, называются инерциальными. Инерциальной системой отсчета является такая система, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы отсчета. Установлено, что инерциальной является гелиоцентрическая система отсчёта. Её начало расположено в центре Солнца, а оси направлены на определённые звёзды. Систему отсчёта, связанную с Землёй, можно считать инерциальной, если пренебречь её вращением вокруг Солнца и суточным вращением вокруг своей оси. В большинстве задач этими вращениями действительно можно пренебречь.

Замечания.

1. В приведённой формулировке 1 закона Ньютона имеется в виду, что тело – абсолютно твёрдое. Можно привести множество примеров, демонстрирующих нарушение первого закона, если тело деформируемо. Например. Имеется сжатая пружина. Если одновременно убрать все воздействия, вызывающие деформацию пружины, то она не будет ни оставаться в покое, ни двигаться равномерно и прямолинейно. Пружина будет совершать колебательные движения. Таким образом, 1 закон Ньютона не выполняется.

2) В 1 законе Ньютона говорится о поступательном движении твёрдого тела по инерции. Однако известно, что движение по инерции может быть и вращательным.

Необходимость в этих уточнениях отпадает, если формулировать 1 закон Ньютона для материальной точки, которая по её определению не может ни деформироваться, ни двигаться вращательно.

Таким образом, 1 закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчёта и только для материальных точек.

Системы отсчета, в которых первый закон Ньютона не выполняется, называются неинерциальными.

3.4.2 Понятие силы, массы, импульса.

Физическая природа взаимодействий в механике не изучается. Это задача физики в целом. Механика изучает лишь такие взаимодействия между телами, которые приводят либо к изменению механического движения тел, либо к их деформациям.

Сила это векторная физическая величина, являющаяся количественной мерой взаимодействия тел, в результате которых они приобретают ускорения или деформируются, или имеет место то и другое одновременно. Так как сила – вектор, она характеризуется величиной, направлением и точкой приложения. Если на материальную точку действуют несколько сил, то их можно заменить одной, равной геометрической сумме отдельных сил:

. (3.41)

Существует два метода измерения силы.

1) Статический метод основан на сравнении сил по вызываемым ими деформациям. Этот метод применим, когда действующая сила пропорциональна деформации. Он используется в динамометрах.

2) Динамический метод основан на том, что сила является причиной изменения скорости, т.е. сила – причина ускорения. Установлено, что ускорение материальной точки пропорционально приложенной силе. Таким образом, сравнивая ускорения, можно тем самым сравнить силы.

Различные тела под действием одной и той же силы по-разному меняют свою скорость, т.е. различные тела имеют различную инертность. Физическая величина, являющаяся мерой инертности тела, называется массой. Кроме того, известно, что согласно закону всемирного тяготения, масса является также мерой способности тела служить источником и объектом тяготения. В связи с этим было введено понятие гравитационной массы. В настоящее время доказано, что с точностью до 10^-12 инертная и гравитационная массы совпадают, поэтому в физике говорят просто о массе. Тождественность гравитационной и инертной масс положена Эйнштейном в основу общей теории относительности. Ньютон истолковывал массу как количество вещества в теле. Однако такое представление оказалось ошибочным. Установлено, что при движении тел со скоростями υ, близкими к скорости света, их масса изменяется по закону:

m = ,

хотя количество вещества в теле остаётся постоянным. В приведённой формуле т – масса движущегося тела, вещества, т₀ - масса покоящегося тела.

Масса вещества, определяемая этой формулой, называется релятивистской массой. Масса вещества является аддитивной величиной, т.е. она равна сумме масс всех частиц, составляющих тело.

Векторная физическая величина, являющаяся количественной мерой механического движения, которое может быть передано от одной материальной точки другой, называется импульсом (количество движения) материальной точки. Модуль импульса равен произведению массы точки на её скорость, а направление совпадает с направлением скорости:

.

Следует отметить, что, если механическое движение переходит в другие формы движения, например, тепловое, то импульс не может служить количественной мерой движения. При скоростях, близких к скорости света,

импульс свободной частицы определяется по формуле:

р = .

3.4.3 Второй закон Ньютона

Экспериментальным путём установлено, что:

ускорение, приобретаемое материальной точкой, пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела):

. (3.42)

Формула (3.42) является основным уравнением динамики материальной точки.

Если на тело действуют несколько сил, то в формуле (3.42) - результирующая всех сил, действующих на материальную точку. Так как , то:

,

т.е. каждая сила сообщает материальной точке такое ускорение, как если бы другие силы не действовали. Это положение называется принципом независимости действия сил.

Запишем уравнение (3.42 ) в виде:

. (3.43)

В классической механике m = const, поэтому её можно внести под знак производной.

, (3.44)

где m = - механический импульс тела (количество движения тела). Таким образом, имеем:

скорость изменения импульса материальной точки равна результирующей всех сил, действующих на материальную точку.

Это положение называется вторым законом Ньютона. Так как в классической механике m = const, то формулы (3.42) и (3.44) представляют собой эквивалентные формы записи второго закона Ньютона. В релятивистской механике т ≠ const, поэтому формулы (3.42) и (3.44) не эквивалентны. В релятивистской механике второй закон Ньютона записывается в форме (4.44).

Перепишем второй закон Ньютона (3.44) в виде:

, (3.45)

или

,

где выражение dt называется элементарным импульсом силы за малый промежуток её действия dt. Таким образом:

изменение импульса материальной точки за малый промежуток времени равно элементарному импульсу результирующей силы, действующей на материальную точку за этот же промежуток времени.

Если сила = const действует на материальную точку в течение времени Δt = t₂ - t₁ и за это время скорость тела меняется от υ₁ до υ₂, то

.

Единица силы 1 Н = 1 кгм/с².

Второй закон Ньютона позволяет рассчитать ускорение тела с массой m, если известен характер действующих на него сил, то есть их зависимость от координат и/или от скорости. В зависимости от характера этой зависимости различают следующие виды сил.

- Сила тяжести - направлена вертикально вниз и, так как она прямо пропорциональна массе тела, она сообщает всем телам одинаковое ускорение g  9,8 м/с² (ускорение свободного падения).

- Сила гравитационного взаимодействия - определяет притяжение двух тел с массами m₁ и m₂, разделённых расстоя­нием r. Коэффициент  = 6,6710^-11 Нм²кг² – называется гравитационной постоянной.

- Сила упругости , где х – вектор линейной деформации упругого тела (вектор приращения длины относительно ее недеформированного, равновесного значе­ния), а k - коэффициент упругости или в применении к пружине - жёсткость пружины.

- Сила вязкого сопротивления где - скорость тела в вязкой среде, r - коэффициент сопротивления среды (обычно жидкой или газо­образной).

Кроме названных выше сил большое значение в решении задач механики имеют такие силы, как вес тела и сила трения, которые не имеют явного выражения через коорди­наты или скорости.

- Весом тела называют силу, с которой тело действует на подвес или опору, неподвижную относительно заданной системы координат.

- Силой трения скольжения F_тр называют силу, прямо пропорциональную силе N нормального давления, т. е. составляющей веса тела, нормальной к поверхности опоры: F_тр =  N, где  - коэффициент трения скольжения тела о поверхность. Сила трения скольжения направлена против перемещения тела и является составляющей силы реакции опоры.

3.4.4 Третий закон Ньютона

Наблюдения и опыт показывают, что механическое воздействие тел друг на друга не является односторонним. Во всех случаях имеет место взаимодействие тел: если одно тело действует на другое, то и второе тело действует на первое. На основе количественного анализа механического воздействия тел Ньютон установил третий закон динамики:

силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю, и направлены вдоль одной линии, соединяющей тела, в противоположные стороны:

.

Силы и приложены к разным телам, поэтому не уравновешивают друг друга. В дальнейшем будем пользоваться формулировкой третьего закона Ньютона для материальных точек:

две материальные точки взаимодействуют с силами, которые равны по величине, противоположны по направлению и направлены по прямой, соединяющей эти точки.