3.7 Энергия и работа

3.7.1 Основные понятия

При изучении законов механики было введено понятие импульса (количество движения) как меры движения, передаваемого одним телом другому при механическом взаимодействии тел. Однако, импульс может служить мерой механического движения лишь в частном случае, а именно, если движение, передаваемое одним телом другому, сохраняется в форме механического движения. Энергия – универсальная мера движения. Она количественно характеризует движение с учётом возможности перехода его из одной формы в другую.

Энергия тела или системы тел, являющаяся количественной мерой их движения, существует всегда, пока существует движение этих тел (движение в общем смысле). В соответствии с различными формами движения материи рассматривают различные формы энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, химическую, ядерную и др. Это деление в достаточной степени условно. В данном разделе будем рассматривать механическую энергию, которая состоит из кинетической и потенциальной энергий.

Энергия – однозначная функция состояния системы, т.е. в данном состоянии она принимает одно, вполне определённое значение независимо от предыстории системы. При переходе из одного состояния в другое происходит изменение энергии:

= ∆W (3.58)

Энергия может быть передана от одного тела другому в двух формах – в форме работы и в форме теплоты. Таким образом, работа – одна из форм передачи энергии от одного тела другому. В отличие от энергии работа – функция процесса. Она совершается лишь при изменении состояния системы, зависит от способа перехода системы из одного состояния в другое и численно равна изменению энергии при этом переходе.

(3.59)

Различия в записи элементарной (малой) работы δА и малого изменения энергии dW имеют не формальный характер, а выражают глубокие различия этих величин. Как отмечалось выше, энергия – однозначная функция состояния системы. Значит, если система совершает какой-либо процесс, в результате которого она возвращается в исходное состояние, то полное изменение энергии системы равно нулю. Математической записью этого вывода служит тождество

,

которое является необходимым и достаточным условием для того, чтобы dW представляло собой полный дифференциал. Работа, как отмечалось выше, в общем случае не является функцией состояния, это – функция процесса. Поэтому элементарная работа – неполный дифференциал. В математике символ df - общепринятое обозначение полного дифференциала функции f многих переменных, δf – знак неполного дифференциала функции f.

Так как работа численно равна энергии, переданной от одного тела другому в результате некоторого процесса, то:

энергия какого – либо тела измеряется той работой, которую могло бы совершить это тело в процессе передачи всей своей энергии другому телу.

3.7.2 Работа переменной силы. Мощность

Из школьного курса известно, что если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила , которая составляет некоторый угол  с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы на направление перемещения (F_S = Fcos ), умноженной на перемещение точки приложения силы:

_{А = FS.S = FScosα. (3.60)}

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (3.60) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементар­ное перемещение d , то силу можно считать постоянной, а движение точки ее приложения — прямолинейным. Элементарной работой силы на перемещении d называется скалярная величина

, (3.61)

г де F_s - проекция на вектор , dS= | | - элементарный путь;  - угол между направлениями элементарного перемещения и силы (рисунок 15). Таким образом, элементарная работа равна скалярному произведению векторов силы и малого перемещения. Суммируя элементарные работы, можно найти

работу на любом протяжении траектории:

А = . (3.62)

Работа переменной силы на графике F_S – S (рисунок 16) определится

площадью заштрихованной фигуры.

Если на тело действует несколько сил, , то элементарная работа на перемещении равна:

,

т.е. она равна сумме работ на этом перемещении сил .

Единица работы - Джоуль (Дж). 1Дж = 1Н^.м.

Для характеристики работы, совершаемой силой в единицу времени, в механике вводится понятие мощности.

Мощностью N силы называется отношение элементарной работы δА, совершаемой этой силой за малый промежуток времени, к его длительности dt:

, (3.63)

где - скорость перемещения точки приложения силы. Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки её приложения.

Мощность – величина скалярная. Единица мощности – ватт: Вт = Дж/с.

3.7.3 Кинетическая энергия

Кинетической энергией называют механическую энергию движущегося тела ( или системы тел), зависящую от его скорости.

В данном параграфе мы рассмотрим кинетическую энергию материальной точки и тела, движущегося поступательно.

Как отмечалось в п.3.7.1, энергия измеряется работой, которая совершается при полной передаче этой энергии от одного тела другому. Рассмотрим материальную точку с массой т, которая движется со скоростью υ. Для определения кинетической энергии, рассчитаем работу, производимую этой материальной точкой, при торможении до полной остановки. По формуле (3.62) имеем:

W_к = А = = .

Таким образом, кинетическая энергия материальной точки, движущейся со скоростью υ, определяется по формуле:

. (3.64)

Если скорость материальной точки меняется от υ₁ до υ₂, то кинетическая энергия изменяется на величину:

. (3.65)

Совершённая при этом работа равна изменению кинетической энергии:

A₁₂ = W_K2 – W_К1. (3.66)

Если на тело действует сила трения, то некоторая часть механической энергии, которой обладало тело, перейдет в энергию теплового движения молекул и изменение кинетической энергии будет меньше работы совершенной силой.

Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему.

В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а, следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.