Тема 5. Гравитационное взаимодействие

5.1. Основные формулы

1. Закон всемирного тяготения:

, … (1)

где G=6,67·10^-11 Нм²/кг² – гравитационная постоянная

2. Сила тяжести:

Р=mg, … (2)

где g=9,81 м/с² – ускорение свободного падения.

3. Третий закон Кеплера:

(Т₁/Т₂)²=(R₁/R₂)³, … (3)

где Т₁ и Т₂ – периоды обращения планет, R₁ и R₂ – большие полуоси их орбит.

5.2. Примеры решение задач

Пример 1.

Какова сила гравитационного притяжения между двумя свинцовыми шарами, с массой 45 кг каждый и диаметром 20 см? Сравните найденную силу с силой притяжения Земли.

Решение

Сила гравитационного притяжения между свинцовыми шарами:

F_ш=Gmm/R²,

где m=45 кг – масса свинцового шара, G=6,67•10^-11 Нм²/кг², R=0,2 м. Подставляя численные значения, вычисляем:

F_ш=6,67•10^-11•(45)²/(0,2)²=3,37•10^-6 Н.

Сила притяжения Земли свинцового шара:

F_З=P=mg=45•9,81=440 Н,

т.е. силы притяжения шаров F_ш значительно меньше, чем силы притяжения Земли F_З, более в 100 миллионов раз.

Пример 2.

На какой высоте, должен находиться спутник Земли, чтобы его период обращения был равен периоду вращения Земли вокруг собственной оси. Известно, что спутник, летавший на расстоянии 6400км от центра Земли, имел период обращения 5000 с.

Решение

В соответствии, с третьим законом Кеплера:

(Т₁/Т₂)²=(R₁/R₂)³,

где Т₁=500 с, Т₂=1 суток=8,6•10⁴ с, R₁=6400 км и Н=R₂ - R₁=?

R₂ •R₁ •6400=43000 км.

Получим:

Н=43000 – 6400=36 600 км

Спутник, летящий на этой высоте, будет находиться над одной и той же точкой земной поверхности, если вращается в ту же сторону, что и Земля.

5.3. Решите задачи

41. Определите силу притяжения между космическим кораблем, массой M=20 т и космонавтом, массой m=70 кг. Который находится в космосе на расстоянии 5 м от центра космического корабля. Какое ускорение способно сообщить эту силу космонавту? [F=GMm/r²=3,8·10^-6 H, a=Gm/r²=5,4·10^-8 м/с²].

42. Какую скорость необходимо сообщить телу, чтобы оно могло удалиться от поверхности Луны в бесконечность? Масса Луны 7,3·10²² кг; радиус Луны 1740 км. [ ].

43. Найдите численное значение первой космической скорости, т.е. такой скорости, которую надо сообщить телу у поверхности Земли в горизонтальном направлении, чтобы оно начало двигаться вокруг Земли по круговой орбите, в качестве ее спутника. Дан радиус Земли 6400 км и ускорение свободного падения g=10 м/с². [ ].

44. Определите линейную скорость движение Луны вокруг Земли, считая, что Луна движется по круговой орбите. Принять массу Земли равной M_З=5,96·10²⁴ кг, а расстояния между Луной и Землей равной L=3,844·10⁸ м. [ ].

45. Определите массу Земли, если искусственный спутник, запущенный на высоту10⁶ м, имеет период обращения 6,36·10³ с. Радиус Земли равен R=6400 км=6,4·10⁶ м.

[М_З= ].

46. С какой линейной скоростью движется Земля вокруг Солнца, если расстояние между ними равно L=1,5·10¹¹ м, а масса Солнца М_с=1,97·10³⁰ кг? [ ].

47. На каком расстоянии от центра Земли, космическая ракета, движущаяся к Луне, будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой? Масса Луны в 81 раз меньше масса Земли, а расстояние между их центрами в 60 раз больше радиуса Земли. [ℓ₁=54R_З; ℓ₂=6R_З].

48. Найдите среднюю линейную скорость движения Луны вокруг Земли, считая среднее расстояние ее от Земли равное ℓ=384000 км, а масса Земли – 5,96·10²⁴ кг. [ ].

49. На сколько, уменьшается вес тела на вершине Эльбруса (h=6 км) по сравнению с его значением на уровне моря? [ ].

50. На какой высоте, ускорение силы тяжести вдвое меньше его значения на поверхности Земли? [h=0,41R_З=2624 км].

……******……