Решение.

По закону сохранения момента импульса системы до и после перехода человека равны:

L_до=L_после или (J₁+J₂)•ω=(J₁+J₂¹)•ω¹, … (1)

где J₁ – момент инерции платформы, J₂ – момент инерции человека, стоящего в центре платформы, ω – угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре, J₂¹ - момент инерции человека, стоящего на краю платформы, ω¹ - угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением:

υ=ω¹•R. … (2)

Определив из уравнения (1) ω¹ и подставив полученное выражение в формулу (2), будем иметь:

υ= =[(J₁+J₂) /(J₁+J₂¹) ]• ω•R. … (3)

Платформа в виде диска имеет момент инерции:

J₁= m₁•R²/2. … (4)

Момент инерции человека определим как для материальной точки:

J₂=0 и J₂¹= m₂• R². … (5)

Угловая скорость платформы до перехода человека:

ω=2πn. … (6)

Заменив в формуле (3) величины J₁, J₂, J₂¹ и ω их выражениями, получим:

υ= =[( m₁•R²/2) /( m₁•R²/2+ m₂• R²)]•2πn•R. … (7)

После упрощения получим:

υ= =[m₁ /( m₁+2 m₂)]•2πn•R. … (8)

Подставляя численные значения, вычислим:

υ=[180 /(180+2•60)]•2•3,14•(10/60)•1,5=0,94 м/с.

Ответ: υ=0,94 м/с.

8.3. Решите задачи

81. Тонкий стержень, длиной 50 см и массой 400 г вращается с угловым ускорением 3 рад/с² около оси, проходящей через средину стержня перпендикулярно к его длине. Определить вращающий момент стержня. [M=m•ℓ²•ε/12=0,025 Hм].

82. Bал массой 100 кг и радиусом 5 см вращался с частотой 8 об/с. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой 40 Н, под действием которой вал остановился через 10 с. Определить коэффициент трения. [k=πmRn/(F•ℓ)=0,31].

83. Через блок, имеющую форму диска, перекинут шнур. К концам привязали грузики, массой 100 г и 110 г. С каким ускорением будет двигаться грузики, если масса блока равна 400 г? [a=2(m₂ – m₁)g/(m+2m₁+2m₂)=0,24 м/с².].

84. Человек стоит на скамье Жуковского и ловить рукой мяч, массой 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии 0,8 м от вертикальной оси вращения скамейки.

С какой угловой скоростью начинает вращаться скамейка Жуковского с человеком, поймавшим мяч? Суммарный момент инерции человека и скамейки 6 кг•м². [ω=mυℓ/(J+mr²) =1,02 рад/c.].

85. Платформа в виде диска радиусом 1 м вращается по инерции с частотой 6 об/мин. На краю платформы стоит человек, масса которого 80 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы 120 кг•м². Считать человека как материальную точку. [ν₂=(J+mR²)•ν₁/J=10 об/с].

86. На скамейке Жуковского стоит человек и держит в руках стержень, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамейка с человеком вращается с частотой 1 об/с. С какой частотой будет вращаться скамейка с человеком. Если повернуть стержень так, чтобы он принял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамейки 6 кг•м². Длина стержня 2,4 м, его масса 8 кг. [ν₂=12J•ν₁/(12J+ m•ℓ²)=0,61 об/с].

87. Шарик массой 100 г, привязанный к концу нити длиной 1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость с частотой 1 об/с. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния 0.5 м. С какой частотой будет при этом вращаться шарик? Какую работу, совершит внешняя сила, укорачиваемой нити? Трением шарика о плоскость пренебречь. [ν₂=(r1/r2)²•ν₁ ].

88. Якорь мотора вращается с частотой 1500 об/мин. Определить вращающий момент, если мотор развивает мощность 500 Вт. [M=N/(2πn)=3,18 Hм].

89. Сплошной цилиндр массой 4 кг катиться без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость оси цилиндра 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию цилиндра. [T=(3mυ²)/4=3 Дж].

90. Шар катиться без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия шара 14 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения шара. [10 Дж; 4 Дж].

…******…