Тема 8. Динамика вращательного движения. Законы сохранения момента импульса

8.1. Методические указания к решению задач

Основные формулы

1. Основное уравнение динамики вращательного движения: М•Δt=J•ω₂-J•ω₁, где М – момент силы, J – момент инерции тела относительно оси вращения.

2. Момент импульса материальной точки: L=m•υ•r=J•ω.

3. Момент инерции материальной точки: .

4. Момент инерции однородного тонкого стержня, массой m и длиной ℓ, когда ось проходит через центр стержня перпендикулярно к стержню: J=m•ℓ²/12.

5. Момент инерции однородного тонкого стержня, массой m и длиной ℓ, когда ось проходит через конец стержня перпендикулярно к стержню: J=m•ℓ²/3.

6. Момент инерции тонкого кольца (обруча): J=m•R².

7. Момент инерции однородного диска (цилиндр): J=m•R²/2.

8. Момент инерции однородного шара: J=2•m•R²/5.

9. Момент инерции тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера): , где J₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела, а – расстояние между осями.

10. Закон сохранения импульса: ,

а) для одного тела .

б) для двух тел

11. Работа постоянного момента силы: .

12. Кинетическая энергия, вращающегося тела: Т=J•ω²/2.

13. Кинетическая энергия тела катящегося, по плоскости без скольжения: Т=m•υ²/2+J•ω²/2.

14. Работа, совершаемая при вращении тел равна изменением кинетической энергии вращения: А=J•ω₂²/2 - J•ω₁²/2.

8.2. Примеры решения задач Пример 1

Вал в виде сплошного цилиндра массой 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее представить самой себе?

Решение

Линейное ускорение гири (a) равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением (ε) вала соотношением:

а=εR, … (1)

где R – радиус вала.

Основное уравнение вращательного движения:

М=ε•J, … (2)

где М – вращательный момент, действующий на вал, J – момент инерции вала. Из формулы (2) находим:

ε=М/J … (3)

Момент инерции вала, как однородный цилиндр определяется формулой:

J=m₁•R²/2. … (4)

Вращающий момент равен произведению силы натяжения шнура Т на радиус вала:

М=Т•R, … (5)

где Т – сила натяжения шнура, найдем ее из следующих соображений. На гирю действует силы тяжести m₂g и сила натяжения T шнура. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири:

m₂g – T=m₂a, … (6)

откуда

T= m₂(g – a). … (7)

Формулу (7) ставим в (6) и получим формулу для вращающего момента:

М= m₂• (g – a)•R. … (8)

Формулу (8) и (4) ставим в (3) и получим формулу угловое ускорение вала:

ε=[m₂• (g – a)•R]/ (m₁•R²/2)=2• m₂• (g – a)/ m₁•R. … (9)

Формулу (9) ставим в (1) и получим формулу для линейного ускорения гири:

a=2• m₂• (g – a)/ m₁, … (10)

откуда

a=2 m₂•g/( m₁+2 m₂). … (11)

Ставим численные данные и вычислим:

а= 2•2•9,81/(10+2•2)=2,8 м/с².

Ответ: 2,8 м/с2. Пример 2

Платформа в виде диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?