Тема 6. Механическая работа. Мощность механизмов. Энергия.

6.1. Основные формулы

1. Работа постоянной силы: .

2. Мгновенная мощность механизмов: •cosα

3. Кинетическая энергия тела: .

4. Потенциальная энергия тела: .

5. Закон сохранения энергии: .

6.2. Примеры решение задач

Пример 1

Груз массой 3 т поднимается с ускорением 2 м/с². Определите работу, производимую в первые 1,5 с, от начала подъема.

Решение

Высота подъема за первые t, c определяется по формуле:

H=h=a•t²/2. … (1)

На груз действуют две силы – сила тяжести mg и сила Т натяжения троса:

Т – mg=ma, … (2)

Отсюда,

Т=m(a+g). … (3)

Произведенная лебедкой работа равна:

A=T•h=m(a+g)• a•t²/2. … (4)

Ставим численные данные и вычислим:

А=300•(9,81+2)•2•1,5²/2=79 650 Дж.

Ответ: А=79 650 Дж.

Пример 2

Воду качают из колодца глубиной 20 м. Для откачки поставлен насос с мотором, мощность которого равна 5 л.с. Найдите КПД мотора, если известно, что за 7 ч работы насоса объем воды, поднятой из колодца, равен 3,8•10⁵ л.

Решение

Мощность мотора N связана с работой А, которую он совершает за время t, соотношением:

N=A/ηt, , … (1)

где η – КПД мотора.

Работа, которую нужно произвести, чтобы поднять массу m воды на высоту h, равна:

A=mgh. , … (2)

При этом вода занимает объем:

V=m/ρ, , … (3)

где ρ – плотность воды. Из этих соотношений следует:

N=Vghρ/ηt, … (4)

Откуда

η=Vghρ/Nt/, … (5)

Приведем данные в системе СИ: N=5 л.с.=5•736 Вт=3680 Вт, g=9,81 м/с², h=20 м, V=3,8•10⁵ л=3,8•10⁵•10^-3 м³=3,8•10² м³, ρ=1 г/см³=10^-3 кг/м³.

η=3,8•10²•9,81•20•10^-3/3680•7•3600=0,8=80%

Ответ: η=80 %.

Пример 3

На барабан, массой M=9 кг намотан шнур, к концу которого прикреплен груз, массой m=2 кг. Найдите ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром.

Решение

Применим закон сохранения энергии. При опускании груза, его потенциальная энергия уменьшается, переходя в кинетическую энергию вращения барабана. Таким образом:

mgh=mυ²/2+Jω²/2, …..(1)

где J – момент инерции барабана. Так как J=MR²/2 и ω=υ/R, где R – радиус барабана, то уравнение (1) можно записать в виде:

mgh=(m+M/2)•υ²/2. … (2)

Груз опускается, под действием постоянной силы, т.е с постоянным ускорением, поэтому:

h=at²/2 и υ=at. … (3)

Подставляя (3) в (2) получим:

a=2mg/(M+2m) …. (4)

Подставляя численные данные, вычислим:

а=2•2•9,81/(9+2•2)=3 м/с.

Ответ: а=3 м/с

6.3. Решите задачи

51. Самолет поднимается, и на высоте 5 км достигает скорости 360 км/ч. Во сколько раз работа, совершаемая при подъеме против силы тяжести, больше работы, идущей на увеличение скорости самолета? [В 10 раз].

52. Какую работу надо совершить, чтобы заставить движущееся тело массой 2 кг: 1) увеличить свою скорость от 2 до 5 м/с, 2) остановиться при начальной скорости 8 м/с? [1) 21 Дж; 2) 64 Дж].

53. Найти работу, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость движения тела от 2 до 6 м/с на пути 10 м. На всем пути действует постоянная сила трения 0,2 кгс. Масса тела 1 кг. [А=35,6 Дж].

54. Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы тело массой 5000 кг, находящего на поверхности Земли, отправить в межпланетное пространство. [А=mgR_З=3,2•10¹¹ Дж].

55. Найдите работу, совершаемую, при подъеме груза массой 10 кг на наклонной плоскости с углом наклона 450 на расстоянии 2 м, если время подъема 2 с, а коэффициент трения 0,1. [А=m{g(sinα+kcоsα)+2s/t2}•s=170 Дж].

56. Для сжатия пружины на 1 см нужно приложить силу 1 кгс. Какую работу нужно совершить, чтобы сжать пружину на 10 см, если сила прямо пропорциональна сжатию? [А=F₁(Δx₁)²/2Δx₁=4,91 Дж].

57. Насос выбрасывает струю воды диаметром 2 см со скоростью 20 м/с. Найти мощность, необходимую для выбрасывания воды. [N=πρd²υ³/8=1,26 кВт].

58. Какова мощность воздушного потока с сечением 0,55 м² при скорости движения воздуха 20 м/с и нормальных условиях? [N=ρSυ³/2=2,84 кВт].

59. Вертолет массой 3 т висит в воздухе. Какова мощность, расходуемая на поддержания вертолета, в этом положении при диаметре ротора d=18 м? При расчете считать, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую струю воздуха с диаметром, равным диаметру ротора. [N=(M³∙g³/π∙ρ∙d²)^1/2; N₁=139 кВт; N₂=313 кВт ].

60. Определите мощность двигателя подъемного крана, поднимающего груз массой 3 т с постоянной скоростью 6 м/мин, если КПД крана 80%. [3750 Вт].

61. Найти, какую мощность развивает двигатель автомобиля массой 1 т, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью 36 км/ч: 1) по горизонтальной дороге, 2) в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути, 3) под гору с тем же уклоном. Коэффициент трения равен 0,07. [1) N=kPυ=6,7 кВт; 2) N=Pυ(kcosα + sinα)=11,8 кВт; 3) N= Pυ(kcosα - sinα)=1,98 кВт].

62. Камень массой 2кг упал с некоторой высоты. Падение продолжалось 1,43 с. Найти кинетическую и потенциальную энергию камня, в средней точки пути. [W_k=W_n=98,1Дж.].

63. С наклонной плоскости высотой 1 м и длиной склона 10 м скользит тело массой 1 кг. Найти: 1) кинетическую энергию тела на основании плоскости, 2) скорость тела у основания плоскости, 3) расстояние, пройденное телом по горизонтальной части пути до остановки. Коэффициент трения равен 0,05. [1) W_k=mυ²/2=mgh – F_трℓ=mgℓ(sinα - kcosα); sin=h/ℓ=0,1; α=5⁰44¹; cosα=0,995. Wk=4,9 Дж; 2) υ=(2W_k/m)^1/2=3,1м/с; 3) W_k=F_тр•s =kmgs, откуда s=W_k/kmg=10 м].

64. Тело массой 5 кг ударяется о неподвижное тело массой 2,5 кг. Кинетическая энергия системы этих двух тел непосредственно после удара стала равна 5 Дж. Считая удар центральным и упругим, найти кинетическую энергию первого тела до и после удара. [7,5 Дж].

65. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара 0,2 кг, масса второго шара 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр поднимается на высоту Н=4.5 см, и опускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если: 1) удар упругий, 2) удар неупругий? [1) h₁=0.005 м; h₂=0.08 м; 2) h=0,02 м].

66. Пуля, летающая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояния от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол 10⁰. [550 м/с].

67. Масса снаряда 10 кг, масса ствола орудия 600 кг. При выстреле, снаряд получает кинетическую энергию 1,8 МДж. Какую кинетическую энергию получает ствол орудия, вследствие отдачи. [T₂=m₁T₁/m₂=30 кДж].

68. Молотком, масса которого 1 кг, забивают в стену гвоздь массой 50 г. Определить КПД удара молотка. [η=m₁/(m₁+m₂)=95,2%].

69. Из двух соударяющихся, абсолютно упругих шаров больший шар покоится. В результате прямого удара, меньший шар потерял ¾ своей кинетической энергии. Определить отношение k=M/m массы шаров. [k=M/m=(1+(1 - ε)^1/2)/ε=3; см. пояснения «Ч»].

70. Какую максимальную часть своей кинетической энергии может передать частица, имеющая массой 2·10^-22 г, сталкиваясь упруго с частицей, массой 6·10^-22 г, которая до столкновения покоилась. [p₂=2m₂p₁/(m₁+m₂)=8•10^-20 кгм/с; см. «Ч»: 2-81].

…******…