Статистика выборок

Информацию, содержащуюся в распределении можно охарактеризовать при помощи численных величин, ответив на следующие вопросы:

1. Какая величина, лежащая в диапазоне наблюдаемых значений, лучше всего характеризует наблюдения?

2. Насколько далеко друг от друга лежат наблюдаемые значения?

3. В какой мере рассеивание, имеющее место по обеим сторонам от некоторого центрального значения, отличается от симметричного?

4. В какой мере рассеивание характеризуется необычно большими отклонениями?

В количественном выражении ответы на эти вопросы дают величины, известные под названием:

1.Характеристика расположения или среднее значение.

2.Характеристика рассеивания или дисперсия.

3.Характеристика асимметрии или асимметрия.

4.Характеристика островершинности или эксцесс.

Последние две характеристики, будучи отнесены к дисперсии, характеризуют форму распределения.

Для сокращения арифметических вычислений в дальнейшем будем пользоваться данными только по 8 изделиям.(Следует отметить, что в большинстве случаев контроль качества по количественному признаку базируется на небольших выборках.

В таблице 3 приведены данные по выборке из 8 изделий в соответствии с возрастающим значением величин и их графическое изображение на рис. 3.

Таблица 3 - Разрывное усилие основы для 8 образцов хлопчатобумажной ткани и отклонения от среднего значения

Образец	Разрывное усилие Х ( в кг)	Отклонение от среднего значения х=Х-
Х1	57	-8,75
Х2	65	-0,75
Х3	65	-0,75
Х4	66	0,25
Х5	67	1,25
Х6	67	1,25
Х7	68	2,25
Х8	71	5,25
	526	0,0
	65,75	0,0

Средние значения. Эти значения иногда называют характеристикой расположения, т.к. они показывают расположение полигона частот относительно оси абсцисс. Иногда их называют характеристикой стремления к центру, т.к. часто, но не всегда существует тенденция концентрации величин относительно некоторого центрального значения. Часто, когда ряд значений, полученных от наблюдения, хотят охарактеризовать одним значением, целесообразно использовать среднее арифметическое значение- среднее

В рассмотренном выше примере

Используя аналогию с понятиями механики, можно среднее значение трактовать как центр тяжести или равновесия распределения, что более наглядно изображено на рисунке 4.

Рисунок 4 - Разрывное усилие основы для 8 образцов хлопчатобумажной ткани

Одним из свойств среднего значения является соотношение . Другое состоит в том, что имеет минимальное значение, когда М= .

При некоторых формах распределения более хорошей характеристикой расположения является медиана. К этим распределениям относятся распределения, обладающие значительной асимметрией или очень удлиненными краями. Медиана определяется из условия, что половина изделий имеет характеристики, равные или превышающие медиану, и половина изделий имеет характеристики, равные или меньше медианы. В рассматриваемом нами примере медиана равна 66,5 кг.

Характеристикой расположения, играющей определенную роль при контроле качества, является середина размаха ( называемая иногда центром)

С= ,

где Х_n – обозначает наибольшее значение в ряду, а Х₁- наименьшее значение в ряду. В нашем случае С= (71+57)/2=64 кг.

Основным положительным качеством этой характеристики является простота ее вычисления; для распределений, имеющих очень укороченные края, она оказывается лучше, чем среднее значение или медиана.

Характеристика рассеивания. Самой простой характеристикой рассеивания является размах

R=X_n-X₁

В рассматриваемом примере

R=70-62=8 кг.

Иногда в качестве меры рассеивания применяется величина, получившая название среднего отклонения. Она представляет собой среднее арифметическое абсолютных значений отдельных отклонений (измеряемых обычно относительно среднего значения). Из таблицы 3 можно заметить, что среднее отклонение

md= =2.56 кг

С математической точки зрения среднее отклонение имеет тот недостаток, что отрицательные отклонения рассматриваются так, как будто они являются положительными.

Характеристикой рассеивания, которая обычно является более приемлемой, чем размах или среднее отклонение, является стандартное отклонение:

s=

Для нормального распределения стандартное отклонение равно среднему отклонению, умноженному на √π/2 или на 1,253.

На основе данных таблицы 3, в различных столбцах таблицы 5 показаны отдельные отклонения х и степени этих отклонений x^r , а в двух последних строках этой таблицы приведены значения Σx^r и центральные моменты

m_{r =}

В рассматриваемом примере

изменчивость =113,5;

дисперсия m₂=s²= =14.19

стандартное отклонение s=√14.19=3.767 кг.

Таблица 5 -Вычисление первых четырех центральных моментов разрывного усилия основы для восьми образцов хлопчатобумажной ткани

Образец	х	х2	х3	х4
1	-8,75	76,5625	-669,9219	5861,8164
2	-0,75	0,5625	-0,4219	0,3164
3	-0,75	0,5625	-0,4219	0,3164
4	0,25	0,0625	0,0156	0,0039
5	1,25	1,5625	1,9531	2,4414
6	1,25	1,5625	1,9531	2,4414
7	2,25	5,0625	11,3906	25,6289
8	5,25	27,5625	144,7031	759,6914
Σ хr	0,0	113,500	-510,7500	6652,656
mr	0,0	14,1875	-63,84	831,58

Дать определение стандартному отклонению довольно трудно. Один метод его определения состоит в том, что его считают средним квадратическим значением отдельных отклонений. Если восемь отклонений, приведенных в таблицах 3 и 4, представить в как стороны квадратов, то сторона квадрата, имеющего среднюю площадь, является стандартным отклонением. Это можно пояснить при помощи рисунка 5. Жирные горизонтальные линии, представляющие собой основания квадратов, вычерченных в левой части чертежа, представляют отклонения х, указанные в таблицах 3 и 4.

Рисунок 5- Геометрическая интерпретация стандартного отклонения

Каждая из жирных горизонтальных линий, представляющих основания квадратов, изображенных в правой части чертежа, имеет длину, равную стандартному отклонению s=3,767. Если бы стандартное отклонение являлось средним арифметическим абсолютного значения |х| индивидуальных отклонений (т.е. если бы оно было средним отклонением md) , то суммарные длины двух рядов горизонтальных линий были бы одинаковыми. В действительности же общая длина горизонтальных линий левой стороны чертежа равна 20,5 (см. вычисления среднего отклонения md), в то время как общая длина линий для квадратов правой части чертежа составляет 8*3,767=30,1. Однако общие площади этих двух групп квадратов будут равны между собой. Как видно из таблицы 4, суммарная площадь квадратов левой группы (изменчивость) составляет =113,5; площадь квадратов правой группы равна 8 s²=8*(3,767)²=8*14,19=113,5.

Другой метод определения стандартного отклонения состоит в том, что его принимают за единицу измерения. Такое представление стандартного отклонения как единицы измерения может считаться приемлемым, если мы будем рассматривать его как расстояние между средним значением и точкой перегиба кривой нормального распределения (т.е. точкой, в которой изгиб кривой изменяется с выпуклого на вогнутый) Кривая нормального распределения представлена на рисунке 6. Эта кривая имеет ряд характерных свойств: - имеет симметричную колоколообразную форму;

- кривая никогда не достигает основания.

Рисунок 6 – Кривая нормального распределения

Коэффициент изменчивости. В некоторых случаях может оказаться более целесообразным выражать отклонения от среднего значения в процентах. Это целесообразно в тех случаях, когда приходится иметь дело с данными, для которых стандартное отклонение обладает тенденцией отклоняться более или менее пропорционально среднему значению генеральной совокупности. В таких случаях изменчивость различных распределений можно сравнивать между собой, применяя характеристику относительного рассеивания, называемую обычно коэффициентом изменчивости V. Численное значение этого коэффициента, выраженное в процентах, определяется по формуле

V=100* %

Применение этого коэффициента приносит пользу в тех случаях, когда средние значения двух или нескольких сравниваемых распределений значительно отличаются одно от другого или когда они выражены в различных единицах измерений.

Характеристика формы распределения. Форма распределения обычно описывается с помощью характеристик, получивших название асимметрии и эксцесса. Если распределение частот необходимо «приспособить» к выборке данных (для того чтобы сравнить предыдущее с последующим), то желательнее согласовывать два распределения по характеристике расположения, дисперсии, асимметрии и эксцесса распределения.

Асимметрия показывает насколько несимметрично распределение.

Эксцесс характеризует островершинность или плосковершинность в точке максимальной частоты.

Третий центральный момент. Количественно асимметрию можно измерить с помощью третьего центрального момента, т.е. третьего момента относительно среднего значения:

m₃=

Как следует из таблицы 4, для рассматриваемого примера разрывного усилия основы m₃=-63.84, т.е. асимметрия в этом случае отрицательна.

Причиной, побудившей измерять асимметрию с помощью третьего момента, является то, что возведение в куб не влияет на знак отклонений, но экспериментальные отклонения увеличиваются. Вместе с этим, третий центральный момент не является мерой для оценки формы распределения, т.к. абсолютное значение асимметрии зависит в определенной степени от дисперсии данных.Так, например, некоторое значение m₃ может определяться небольшой асимметрией, сочетающейся с большой дисперсией, или наоборот.

Четвертый центральный момент. Он определяется как

m₄=

Численное значение четвертого центрального момента (табл.4) составляет 831,58. Значение этого момента зависит от формы распределения. Он не может служить мерой для оценки формы распределения, т.к. увеличению

m₄ может сопутствовать увеличение m₂.Очевидно, необходимо производить определенное сравнение m₄ и m₂.

Характеристики относительной асимметрии и эксцесса. Эти характеристики рассматриваются как третий и четвертый моменты нормированного распределения

а₃= m₃/s³;

а₄=m₄/s⁴,

применяя эти формулы и вычисленные ранее величины, находим:

а₃=-63,84/(3,767)³=-63,84/53,454= -1,19

а₄=831,56/(3,767)⁴=831,58/201,36= 4,13