2.3 Адекватность регрессионных моделей

На определении коэффициентов регрессионной модели построение модели не заканчивается. Необходимо установить адекватность и точность предлагаемой модели.

Адекватность модели характеризует соответствие модели экспериментальным данным и статистическую значимость уравнения регрессии. Адекватность регрессионной модели оценивается коэффициентом Фишера (Fрасч)

(5.15)

Вывод формулы дан в кн.: Драйпер Н. Прикладной регрессионый анализ. М.,

2007. 912 с.

Критерий Фишера представляет собой отношение суммы квадратов отклонений, обусловленных регрессией, к сумме квадратов отклонений относительно регрессии.

Формулируем нулевую гипотезу H₀: b₁ = 0. Расчетное значение коэффициента Fрасч необходимо сравнить с табличным значением Fтабл(m, α).

В этой записи m – общее количество экспериментальных наблюдений (x_i, y_i), которое влияет на количество степеней свободы при определении критерия Фишера. α – уровень значимости – вероятность, с которой мы можем отвергнуть правильную гипотезу о модели как неправильную.

Обычно в моделировании используют значения α = 0,05; 0,01.

Если Fрасч > Fтабл, то нулевая гипотеза отвергается, модель считается адекватной, а регрессия – значимой. Если Fрасч < Fтабл, то регрессионная модель неадекватна и использовать ее для анализа и исследования объекта нельзя. В этом случае необходимо снова проанализировать априорную информацию, снова спланировать и провести эксперимент.

Значения коэффициента Фишера обычно даны в справочниках по математической статистике и теории вероятностей.

2.3.1 Точность регрессионных моделей

Для оценки точности регрессионных моделей с одной входной используется выборочный коэффициент корреляции Пирсона (r_xy), который определяется по формуле [12]

(5.16)

Коэффициент корреляции r_xy характеризует тесноту связи между выходной переменной y и входной переменной x. Область определения коэффициента корреляции r_xy лежит в пределах от –1 до +1 включительно.

Можно выделить несколько частных случаев значения коэффициента корреляции (рис. 5.4). Чем выше значение r_xy, тем теснее связь между выходной переменной y и входной переменной x, тем точнее, а следовательно, лучше математическая модель.

Рис. 5.4. Частные случаи значения коэффициента корреляции

Если модель имеет низкое значение r_xy, то она имеет низкую точность оценки и предсказания поведения или свойств объекта. Такую модель использовать для исследования, описания и предсказания объекта не рекомендуется. Из нескольких моделей, проанализированных во время моделирования, для исследования объекта выбирается та модель, у которой коэффициент корреляции r_xy имеет наибольшее значение. После расчета коэффициента корреляции производят проверку его значимости при помощи критерия Стьюдента. Коэффициент корреляции, рассчитанный для модели (r_расч), сравнивается с табличным (граничным) значением (r_табл). Если r_расч > r_табл, то r_расч принимается как показатель тесноты связи и наоборот [10]. Табличные значения r_таб можно найти в справочниках по теории вероятностей и математической статистике.

Если попытаться оценить стандартную ошибку для предсказанных значений выходного фактора y¯ , то наилучшие предсказания будут в «центре тяжести» эксперимента [12]. Чем дальше от «центра тяжести», тем менее точными будут предсказания y¯ .