5 Планирование эксперимента

При исследовании объектов с привлечением вероятностно-статистических методов применяют активный эксперимент, который ставится по заранее составленному плану (планирование эксперимента). При этом предусматривается одновременное изменение всех параметров, влияющих на процесс, что позволяет сразу установить силу взаимодействия параметров и поэтому сократить общее число опытов.

Используя при обработке опытных данных принципы регрессионного и корреляционного анализа, можно выявить зависимость между переменными и условиями оптимума. В этом случае математической моделью является функции отклика, связывающие паретры оптимизации, характеризующие результаты эксперимента, с переменными параметрами, которые экспериментатор варьирует при проведенни опытов:

y=φ(x₁, x₂ ,…, x _k).

Принято называть независимые переменные x₁, x₂ ,…, x _k факторами, координатное пространство с координатами x₁, x₂ ,…, x _{k –} факторным пространством, а геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве – поверхностью отклика.

При использовании статистических методов математическая модель представляется в виде полинома – отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная зависимость

_{k k k}

y=β₀ +∑β_j x _j +∑β_ujx_ux_j +∑β_jjx_j²

^{j=1 u,j=1 j=1}

г де β_j = _x=0→ β_uj = _x=0 → β_jj = _x=0

В реальном процессе всегда существуют неуправляемые и неконтролируемые переменные, изменение величины которых носит случайный характер. Поэтому при обработке экспериментальных данных получаются так называемые выборочные коэффициенты регрессии b₀, b_j, b_uj, b_jj, являющиеся оценками теоретических коэффициентов β₀, β_j, β_uj, β_jj. Уравнениие регрессии на основании экспериментальных данных запишется следующим образом

R= b₀ + b_jx_j + b_ujx_ux_j + b_jjx_j² (2)

Коэффициент b₀ называют свободным членом уравнения регрессии, коэффициенты b_j – линейными эффектами; коэффициенты b_jj – квадратичными эффектами; коэффициенты b_uj – эффектами взаимодействия.

Коэффициенты уравнения 2 определяют методом наименьших квадратов из условия :

Ф= (y_i –R_i)²= min

Здесь N- объем выборки из всей совокупности значений исследуемых параметров. Разность между N и числом связей, наложенных на выборку, l (равное числу определяемых коэффициентов) называется числом степеней свободы выборки f: f=N-1.

Задача оптимизации обычно ставиться таким образом: необходимо определить координаты экстремальной точки (х₁^опт, х₂^опт, …, х_k^опт ) поверхности отклика y=φ(x₁,x₂, …x_k). Построим контурные сечения y=const поверхности отклика для двух факторов (рис. 2). При пассивном эксперименте обычно фиксируется один из факторов, например x₁, и двигаются из точки L в направлении оси x₂ до тех пор, пока не прекращается прирост у (рис.2). В точке с наилучшим значением (М) фиксируют значение x₂, и начинается уже движение в направлении x₁ и т.д. Очевидно, что путь к экстремуму по ломанной LMNR … не является самым коротким. Более того, при поверхностях отклика в виде оврагов или гребней указанная процедура не гарантирует выявления истинного оптимума.

Известно, что движение по кратчайшему пути – это движение по градиенту перпендикулярно линиям y=const ( на рис.2 показано пунктиром).

Когда исходная информация об оптимизируемом объекте практически отсутствует или незначительна, процесс поиска экстремальных значений проводят в два этапа.

На первом этапе используют «шаговый» метод Бокса и Уилсона движения по поверхности отклика. По этому методу в окрестности, например, точки А (рис.3) ставят эксперимент для локального описания поверхности отклика линейным уравнением регрессии: R= b₀ + b₁х₁ + b₂х₂. Далее находят направление наклона (градиента) этой плоскости и двигаются в этом направлении за пределы изученной области. Если этого линейного приближения недостаточно, то ставят новую серию опытов в точке, соответствующей наибольшему значению у (точка В), и находят новое напрпавление движения по поверхности отклика. Такой шаговый процесс ,получивший название метода крутого восхождения, продолжают до достижения области близкой к экстремуму, в которой становятся значимыми эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты.

На втором этапе для описания поверхности отклика в стационарной области используют уже нелинейные уравнения, анализ которых и позволяет выявить, при каких значениях факторов обеспечивается наилучшее значение оптимизируемого параметра.

При оптимизации составов резиновых смесей наиболее широкое применение нашли планы второго порядка, причем чаще всего используется ортогональный композиционный план второго порядка.