5.5 Использование треугольной системы координат для графического анализа результатов 3-х факторного эксперимента

При изучении зависимости свойств резин от содержания трех каучуков или других трех компонентов, составляющих в сумме 100% может быть использована треугольная система координат.

Треугольная система кординат представляет собой равносторонний треугольник, в углах которго содержание одного из трех компонентов составляет 100%. Стороны – оси разделены на 10 равных частей. Любая точка на стороне треугольника соответствует комбинации двух компонентов, а внутри треугольника характеризует определенный состав из трех компонентов.

На примере изучения свойств типовой протекторной резины в зависимости от содержания 3-х кацчуков рассмотрены основные вопросы методики планирования эксперимента и обработка опытных данных применительно к треугольной системе координат.

Резины различались количественным соотношением каучуков при общем их содержании 100 вес.ч. В качестве независимых переменных х₁ и х₂ были использованы натуральные логарифмы процентных соотношений двух каучуков:

х₁ = ln CKC/HK x₂ = ln СКД/НК

Логарифмическое преобразование значений уровней переменных при выбранном положении экспериментальных точек позволило наряду с равномерным их распределением выполнить все требования ортогональной системы планирования опыта для двух факторов.

Принцип выбора и построения исследуемой области с исходными экспериментальными точками показан на рис.

Для определения положения экспериментальных точек в соответствии с предложенной схемой их размещения по координатным осям треугольника наносят точки с соотношением каучуков (СКС/НК для оси СКС-НК и СКД/НК для оси СКД-НК) 1/3; √17/3 и 17/3 ( где √17/3 – среднее геометрическое, что для логарифмической шкалы равноценно средней арифметической величине).

Дозировки каучуков в указанных точках приведены в таблице 1.

Таблица 5. 1 - Содержание каучуков, соответствующее точкам на осях координат

Соотношение каучуков	Содержание каучуков, %
	Ось СКС-НК		Ось СКД-НК
	СКС	НК	СКД	НК
1/3	25	75	25	75
√17/3	56	44	56	44
17/3	85	15	85	15

Затем каждую из трех точек на оси соединяют с противоположным углом треугольника. Девять точек пересечения прямых (в координатах натуральных логарифмов соотношений каучуков) образуют полный факторный эксперимент 3² для двух факторов. При этом выполняются требования ортогональной схемы планирования.

Для всех точек, лежащих на одной прямой, например 1,7,3 (рис. 1), характерно одинаковое соотношение каучуков, такое же, как для соответствующей точки на оси СКС-НК, равное 1/3.

Рисунок 1 – Границы исследуемой области с экспериментальными точками (цифры внутри треугольника соответствуют порядковому номеру точек по схеме планирования)

При переходе к шкале натуральных логарифмов значения уровней переменных легко обращаются в условные единицы, 0 и + 1.

Пересчет значений уровней переменных в единицы условного масштаба производится следующим образом.

1. Определяют натуральные логарифмы соотношений каучуков:

ln1/3=-1.1 ln√17/3=0.315 ln17/3=+1.73

2. Рассчитывают шаг варьирования путем вычитания из граничных значений уровней (-1,1 и +1,73) средней величины (0,315):

+1,73-0,315=1,415

3. Преобразуют значения уровней переменных в условный масштаб:

(-1,1+0,315)/1,415 = -1,415/1,415=-1

(0,315-0,315)/1,415 = 0/1,415=0

(1,73-0,315)/1,415= 1,415/1,415 = +1

Значения уровней переменных приведены в таблице 2

Таблица 2 - Уровни переменных в условном и натуральном масштабах

Переменные	Средний уровень	Шаг варьи рования	Значения переменных для уровней
			-1	0	+1
ln СКС/НК(х1)	0,315	1,415	-1,1	0,315	1,73
lnСКД/НК (х2)	0,315	1,415	-1,1	0,315	1,73

При проведении эксперимента была использована ортогональная схема планирования. Уровни исследуемых переменных в условных единицах, в натуральных логарифмах процентных соотношений и в пересчете в весовые проценты приведены в табл.3.

Таблица 3 - Схема ортогонального планирования эксперимента и уровни переменных в экспериментальных точках.

Поряд ковый номер смеси (тчк. на рис.1)	Уровни исследуемых компонентов
	усл.ед		натуральные логарифмы процентных соотношений каучуков		вес.ч.
	х1	х2	ln СКС/НК (х1)	ln СКД/НК (х2)	НК	СКС	СКД
1	-1	-1	ln 1/3	ln 1/3	60	20	20
2	+1	-1	ln 17/3	ln 1/3	14	81	5
3	-1	+1	ln 1/3	ln 17/3	14	5	81
4	+1	+1	ln 17/3	ln 17/3	8	46	46
5	0	0	ln √17/3	ln √17/3	27	36,5	36,5
6	+1	0	ln 17/3	ln √17/3	12,5	70,5	17
7	-1	0	ln 1/3	ln √17/3	37	12	51
8	0	+1	ln √17/3	ln 17/3	12	17	71
9	0	-1	ln √17/3	ln 1/3	37	51	12
Эталон	-	-	-	-	30	35	35

Состав смесей, указанных в табл.3, можно определить графичеки по рис.1, а также более точно расчетным путем. Принцип перерасчета соотношений каучуков в процентное содержание можно показать на конкретном примере. В тчк.1 (рис.1) соотношение каучуков

СКС/НК=СКД/НК=1/3

Сумма дозировое каучуков равна 100%, т.е. содержание СКД+НК+СКС=100%. Разделив обе части равенства на процентное содержание НК, получим:

СКД/НК + НК/НК+СКС/НК =100/НК или

1/3+1+1/3 = 100/НК

Отсюда

НК =60% СКС= =20%

СКД=100%-60%-20%=20%

Расчет процентного содержания каучуков в экспериментальных точках приведен в табл.4.

В соответствии с данными таблицы 3 и рис.1 в область исследования попадают резины с содержанием НК 8-60%, а СКС 5-80%. Только в этих границах может быть проведен анализ зависимости свойств резины от состава.

С приближением к угловым точкам исследование свойств резин в связи с использованием логарифмов соотношений каучуков становится невозможным.

Исследовали основные механические показатели резин табл.5

Таблица 5- Схема ортогонального планирования эксперимента и результаты механических испытаний резин для расчета коэффициентов квадратичной модели

№ опыта	Планирование усл.ед.		Результаты испытаний физич.ед.
	х1	х2	R1	R2	R3	R4	R5	R6	R7
1	-1	-1	115	245	550	110	39	200	67
2	+1	-1	85	220	620	65	32	220	52
3	-1	+1	80	175	530	55	49	180	70
4	+1	+1	85	200	575	60	42	150	70
5	0	0	90	215	570	86	43	180	70
6	+1	0	75	205	650	70	34	250	61
7	-1	0	100	210	555	95	44	200	70
8	0	+1	65	165	570	55	49	230	70
9	0	-1	100	220	570	90	33	230	61

R_{1 –} напряжение при удл.300%, кгс/см²

R₂ – сопротивление разрыву, кгс/см²

R₃ – относительное удлинение,%

R₄ – сопротивление раздиру, кгс/см

R₅ – эластичность,%

R₆ – истираемость, см³/(квт*ч)

R₇ – температура хрупкости, ⁰С.

Полученные данные позволяют определить значения коэффициентов квадратичного уравнения зависимости свойств резин от двух компонентов:

R= b₀+ b ₁x₁+ b ₂x ₂+ b₁₁x²₁+b₂₂x²₂+ +b ₁₂x ₁x₂

Результаты расчета коэффициентов представлены в таблице 6.

Таблица 6 -Коэффициенты уравнений для исследуемых свойств типовой протекторной резины на основе комбинации НК, СКС, СКД

Показатели	Коэффициенты
	b0	b1	b2	b11	b22	b12
Напряжение при удл.300%	+85	-8	-12	+5	0	+9
Сопротивление разрыву	+204	0	-24	+9	-5	+12
Относительное удлинение	+585	+35	-11	+1	-22	-6
Сопротивление раздиру	+84	-11	-16	-1	-11	+12
Эластичность	+41	-4	+6	-2	0	0
Истираемость	+219	+7	-15	-13	-8	-12
Температура хрупкости	+68	-4	+5	-5	-5	+4

На основании указанных коэффициентов найдены расчетные значения показателей в экспериментальных точках (табл.7)

Для графического построения зависимости свойств резин от изменения количественного соотношения трех каучуков в смеси в треугольной системе координат на основе приведенных уравнений были рассчитаны дополнительные значения исследуемых показателей для определенных составов резин. Всего было выбрано 18 промежуточных точек, с 10-й до 27-й, без учета 9 экспериментальных.

Содержание каучуков в указанных точках определяли по рис.2, затем рассчитывали значения уровней переменных в условном масштабе (табл.8). Принцип перехода к условным единицам показан на следующем примере:

Процентное содержание каучуков в точке 10:

НК……………50

СКД………….20

СКС…………..30

х₁=ln х₂=ln

ln0.6 = -0.51 ln0.4=-0.92

В условных единицах

Таким образом, =-0,58; =-0,87.

Рисунок 2 – Положение дополнительных 18 точек (с 10-27) исследования

Общее число точек, принятых за основу для построения контурных кривых изменения свойств, составляет 27. После нанесения на график всех расчетных величин изучаемых показателей путем линейной интерполяции между ближайшими точками, определяют промежуточные данные. Соединяя одинаковые значения показателя, получают кривые равного уровня свойств аналогично тому, как это делают в системе двух координат. Метод построения контурных кривых детально рассмотрен на примере изучения сопротивления разрыву резин (рис.3).

Рисунок 3 - Изменение сопротивления разрыву резин в зависимости от процентного содержания НК, СКС и СКД

Рисунок 4 – Контурные кривые изменения напряжения резины при удлинении 300% (сплошные линии) и относительного удлинения (пунктирные линии) в зависимости от процентного содержания в смеси НК, СКС и СКД

Рисунок 5 - Контурные кривые изменения сопротивления раздиру (сплошные линии) и эластичности резин (пунктирные линии) в зависимости от процентного содержания в смеси НК, СКС и СКД

Рисунок 6- Изменение температуры хрупкости (сплошные линии) и износостойкости резин (пунктирные линии) в зависимости от процентного содержания каучуков.

На рис.3-6 показан характер изменения контурных кривых свойств резин в зависимости от содержания НК, СКС и СКД. В соответствии с приведенными рисунками каучуки СКС И СКД обуславливают примерно одинаковую величину напряжения при удл.300%. С увеличением содержания НК напряжение при удлинении возрастает. При этом следует отметить большую величину относительного удлинения в резинах с повышенным содержанием НК. Так, резина, содержащая 60% НК, 20% СКС и 20%СКД, с напряжением при длинении 300% равным 120кг/см², характеризуется относительным удлинением 550%,т.е. примерно таким же, как и резина с 80% СКД,15%НК и 5%СКС (535%) с напряжением при удлинении 300% , составлюящим 80 кгс/см². С увеличением содержания в смеси СКС относительное удлинение возрастает и в резине, содержащей 80% СКС,15% НК и 5%СКД, составляет 630%, при незначительном изменении напряжения при удл.300%, равном 85 кгс/см². Резины с повышенным содержанием СКД характеризуются сравнительно низким сопротивлением разрыву и раздиру. Резины, содержащие примерно 80% СКД, имеют сопротивление разрыву 160 кгс/см², а раздиру - 55 кгс/см². С увеличением содержания СКС, и особенно НК, прочностные свойства резины резко улучшаются.

Из рис.5-6 видно, что повышение содержания СКД улучшает эластичность резин и снижает температуру хрупкости.

Резины с увеличенным содержанием СКС значительно уступают по морозостойкости резинам как с СКД, так и с НК. Т.к. по износостойкости расчетные данные значительно отличаются от экспериментальных (табл.7) анализ графических зависимостей не позволяет сделать определенные выводы о преимуществах того или иного каучука. По данным рис.6 можно отметить лишь некоторую тенденцию к улучшению износостойкости с увеличением содержания СКД.

Таблица 7 - Экспериментальные и расчетные величины исследуемых механических показателей в опытных резиновых смеся

Планирование усл.ед.		Механические показатели, физич. ед.
		R1		R2		R3		R4		R5		R6		R7
х1	х2	экспе ри мент	рас чет	экс пери мент	рас чет	экспери мент	расчет	экспе ри- мент	расчет	экспери мент	рас чет	экспери-мент	расчет	экспе ри мент	расчет
-1	-1	115	119	245	245	550	542	110	11	39	38	200	193	-67	-67
+1	-1	85	85	220	218	620	625	65	65	32	30	220	231	-52	-52
-1	+1	80	78	175	171	530	533	55	55	49	50	180	188	-70	-70
+1	+1	85	79	200	195	575	590	60	58	42	42	150	176	-70	-69
0	0	90	85	215	204	570	585	86	84	43	41	180	219	-70	-68
+1	0	75	82	205	212	650	630	70	72	34	36	250	212	-61	-62
-1	0	100	98	210	214	555	560	95	94	44	44	200	199	-70	-70
0	+1	65	73	165	174	570	552	55	57	49	48	230	196	-70	-71
0	-1	100	97	220	222	570	573	90	89	33	36	230	226	-61	-61
Эталон		95	-	210	-	550	-	95	-	42	-	190	-	-70	-

Таблица 8 -Пересчет процентного содержания каучуков в условные единицы и расчетныемеханические показатели для построения контурных кривых

№ тчк на рис.2	Содержаниииие каучуков,%			Отношение каучуков		Натуральный логарифм отношений каучуков		Уровни переменных усл.ед		R1	R2	R3	R4	R5	R6	R7
	НК	СКД	СКС	СКС/НК	СКД/НК	х1	х2	х1	х2
10	50	20	30	0,6	0,4	-0,51	-0,92	-0,58	-0,87	110	234	565	100	39	216	-65
11	50	30	20	0,4	0,6	-0,92	-0,51	-0,87	-0,58	110	232	565	105	41	207	-69
12	40	20	40	1	0,5	0	-0,7	-0,22	-0,72	96	220	577	95	39	225	-66
13	40	30	30	0,75	0,75	-0,30	-0,3	-0,43	-0,43	98	217	577	96	41	219	-68
14	40	40	20	0,5	1	-0,69	0	-0,71	-0,22	99	217	568	96	43	212	-69
15	30	10	60	2	0,33	+0,69	-1,1	+0,27	-1	92	222	590	83	35	232	-59
16	30	20	50	1,66	0,66	+0,51	-0,41	+0,14	-0,51	89	215	593	87	38	228	-65
17	30	50	20	0,66	1,66	-0,41	+0,51	-0,51	+0,14	89	200	568	86	44	214	-70
18	30	60	10	0,33	2	-1,1	+0,69	-1	+0,27	95	205	564	85	46	200	-70
19	20	10	70	3,5	0,5	+1,24	-0,69	+0,66	-0,71	85	217	619	76	34	234	-58
20	20	20	60	3,0	1	+1,1	0	+0,56	-0,22	84	210	610	79	38	227	-64
21	20	30	50	2,5	1,5	+0,92	+0,41	+0,43	+0,07	82	205	600	78	39	225	-68
22	20	40	40	2,0	2,0	+0,69	+0,69	+0,27	+0,27	81	198	589	77	42	216	-69
23	20	50	30	1,5	2,5	+0,41	+0,92	+0,07	+0,43	80	193	578	74	44	214	-70
24	20	60	20	1	3	0	+1,1	-0,22	+0,56	80	186	563	71	46	214	-70
25	20	70	10	0,5	3,5	-0,69	+1,24	-0,71	+0,66	82	176	555	70	47	203	-70
26	10	30	60	6	3	+1,79	+1,1	+1	+0,56	80	208	614	65	39	197	-67
27	10	60	30	3	6	+1,1	+1,79	+0,56	+1,0	75	181	558	56	45	189	-70

Примечание.Исходные данные для пересчета в условные единицы:средний уровень для х₁ =х₂=0,31; шаг варьирования для х₁ =х₂=1,41