2.Математическое моделирование

2.1 Основные понятия и определения

С общих позиций математическое моделирование можно рассматривать как один из методов познания реального мира в период формирования так называемого информационного общества .

Понятие математической модели, не имеет строгого формального определения .В литературе по моделированию предлагаются следующие варианты:

● под математической моделью понимается класс абстрактных и символьных математических объектов – таких, как числа и вектора, и отношения между ними;

● математической моделью объекта называют совокупность абстрактных основополагающих математических понятий и отношений, выраженных при помощи системы математических символов и обозначений и отражающих некоторые свойства изучаемого объекта;

● под математической моделью понимается любой оператор А, позволяющий по соответствующим значениям входных параметров Х установить выходные значения параметров Y объекта моделирования .

Таким образом, математическая модель – совокупность математических объектов (уравнений, систем уравнений и неравенств, алгебраических выражений и т. д.), описывающих языком математических символов исследуемый объект и его отношения с окружающим миром.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта.

Особенность математического моделирования состоит в том, что абстрактным отражением существующего или создаваемого объекта является его математическая модель, количественный анализ которой позволяет получить новые знания об этом объекте .

Под математическим моделированием в технике понимают адекватную замену исследуемого технического устройства или процесса соответствующей математической моделью и ее последующее изучение методами вычислительной математики с привлечением средств современной вычислительной техники [8].

То есть математическое моделирование – это построение математической модели (или выбор имеющейся «модели-заготовки»), ее исследование с целью получения новой информации об объекте и использование для описания свойств и предсказания поведения объекта.

Математическое моделирование основано на том факте, что различные объекты и явления могут иметь одинаковое математическое описание. Говоря простым языком, математическая модель – это совокупность наших знаний об исследуемом объекте, сформулированных на языке математики.

Однако наши знания об исследуемом объекте никогда не бывают абсолютными. Следовательно, математическая модель, как и любая другая модель, всегда является только копией объекта и описывает его приближенно.

Преимущества математического моделирования по сравнению с натурным экспериментом:

● экономичность (сбережение материальных, человеческих, временных и финансовых ресурсов);

● возможность моделирования гипотетических объектов;

● возможность реализации режимов, опасных или трудновоспроизводимых в реальности;

● возможность изменения масштаба времени;

● простота многоаспектного анализа;

● возможность построения прогнозов на основе выявления общих закономерностей;

● наличие и универсальность технического и программного обеспечения для моделирования.

Требования к математической модели:

● быть практически полезной;

● быть адекватной реальному объекту;

● быть адекватной решаемым задачам.

● быть простой в содержательном смысле и легко интерпретируемой;

● быть «адаптированной» к имеющимся исходным данным об объекте и легко модифицироваться при появлении новых данных;

● быть полной с точки зрения решаемых задач;

● быть ориентированой на психологию пользователя, простой и понятной ему;

● гарантировать отсутствие абсурдных результатов.

Структура математической модели.

Математическая модель представляет собой комбинацию следующих элементов:

● переменных (входных и выходных) – всегда имеют область определения;

● параметров – принимают числовые значения;

● функциональных зависимостей;

● ограничений (искусственных и естественных);

● целевых функций (в задачах оптимизации).