Некоторые положения теории вероятностей

Классическое определение вероятности гласит – «если имеется полная группа из N взаимно несовместимых и равновозможных случаев, причем n из них благоприятствуют интересующему нас событию, то вероятность этого события определяется как отношение N/n».

Cвойства вероятностей.

Свойство 1.Вероятность достоверного события равна 1

Т.е. N=n следовательно вероятность события А,

Р(А)= N/n=n/n=1

Свойство 2.Вероятность невозможного события равна нулю.

Т.е. N=0 и

Р(А)= N/n=0/n=0

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

В этом случае 0<N<n, значит, 0<N/n<1, следовательно,

0<P(A)<1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0≤P(A)≤1

Наряду с вероятностью к основным понятиям теории вероятностей относится относительная частота.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

W(A)=m/n

где n-общее число испытаний, а m-число появлений события.

Из вышеизложенного следует, что вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после.

Пример. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартные детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей

W(A)=3/80

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Основные формулы комбинаторики

Перестановки. Число перестановок из N элементов равно N! (факториал) и вычисляется по формуле N(N-1)( N-2)…1. Таким образом, выборка из 3-х элементов a, b и c может быть одразована 3*2*1=6 различными способами:

abc; acb; bac; bca; cab; cba.

Число перестановок из n элементов, извлеченных одновременно из совокупности N элементов, составляет

(N)_n =

Сочетания. Если при выборке порядок, в котором выбираются элементы, не имеет никакого значения, то количество выборок, состоящих из n элементов, которое может быть получено при осуществлении выборки из генеральной совокупности, содержащей N элементов, равно числу сочетаний из N элементов по n т.е.

=

Основные теоремы теории вероятностей

Теорема1.Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А или события В, или обоих этих событий.

Пример. Из орудия произведены два выстрела и А- попадание при первом выстреле, В - попадание при втором выстреле. А+В – попадание при первом выстреле, или при втором или в обоих выстрелах.

В частности, если два события несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Теорема 2.Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример. В урне 30 шаров:10 красных, 5синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

Р(А)= 10/30=1/3

Вероятность появления синего шара (событие В)

Р(В)=5/30=1/6

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.