1.2 Планирование эксперимента
1.2.1 Выбор уровней факторов
План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов.
Известно, что каждый фактор имеет свою область определения. Совокупность областей определения входных факторов называют факторным пространством. Каждая точка факторного пространства представляет собой вполне определенное сочетание конкретных значений входных факторов и соответствует одному состоянию объекта. На основе анализа задачи исследования и априорной информации об исследуемом объекте для каждого входного фактора выделяется область, в пределах которой он будет изменяться во время эксперимента. Сочетание таких областей по всем входным факторам будем называть факторным пространством эксперимента.
Планирование эксперимента начинают с выбора нулевого уровня каждого входного фактора, в качестве которого может быть взята любая точка факторного пространства эксперимента. Но одной точки – нулевого уровня – для проведения эксперимента и получения необходимой информации недостаточно. Нужны еще точки. Построение плана эксперимента –это выбор точек (уровней входных факторов) относительно нулевого.
Для определения других уровней входных факторов вводится интервал варьирования каждого входного фактора. Чтобы обозначить верхний уровень входного фактора, следует интервал варьирования прибавить к нулевому уровню данного фактора, а чтобы определить нижний уровень – вычесть интервал варьирования из нулевого уровня. На интервал варьирования накладываются ограничения естественного характера снизу и сверху.
К интервалу варьирования входного фактора предъявляются следующие требования:
● он не может быть менее ошибки, с которой измеряется данный фактор, иначе уровни фактора будут неразличимы;
● он не может быть слишком большим, т. е. нижние и верхние уровни не должны покидать области определения фактора и области проведения эксперимента.
Обычно при первичном планировании эксперимента количество уровней по всем входным факторам выбирают одинаковым. Тогда количество опытов в эксперименте (Nэ) может быть определено по формуле:
Nэ = pэkэ , (4.1)
где pэ – число уровней каждого входного фактора;
kэ – число входных факторов, исследуемых в эксперименте.
Если из анализа априорной информации известно, что исследуемая зависимость Yj = f (X1, X2, … Xk) является линейной, то достаточно реализовать эксперимент, в котором каждый входной фактор имеет в эксперименте только два уровня, т. е.
Nэ = 2kэ. (4.2)
Такой план эксперимента называется планом первого порядка. Если из анализа априорной информации известно, что исследуемая зависимость Yj = f (X1, X2, … Xk) является нелинейной, то достаточно реализовать эксперимент, в котором каждый входной фактор имеет три уровня. Такой план называется планом второго порядка, а
Nэ = 3kэ. (4.3)
1.2.2. Полный факторный эксперимент
Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – это эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания всех уровней всех входных факторов [4] (например, Nэ = 2kэ, Nэ = 3kэ).
Условия полного факторного эксперимента записывают в виде таблицы – матрицы планирования эксперимента. Для эксперимента, исследующего объект с двумя входными факторами, каждый из которых изменяется по двум уровням, матрица планирования имеет следующий вид (таблица).
Таблица 4.1 - Матрица планирования полного факторного эксперимента NЭ = 22
№ п/п
|
X1 |
X2 |
Yэксп
|
1 |
- |
- |
Y1эксп |
2 |
- |
+ |
Y2эксп |
3 |
+ |
- |
Y3эксп |
4 |
+ |
+ |
Y4эксп |
Примечание. Знаком «+» обозначены верхние уровни факторов, знаком «–» – нижние.
Так выглядит кодированная форма записи.
Если для исследования входного фактора было выбрано три уровня, включая нулевой, то в матрице планирования они обозначаются знаками «–» (нижний), «0» (нулевой), «+» (верхний). На рис. 4.2 показана геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента N = 22.
Рисунок 4.2 - геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента N = 22
Если выбрано два нижних и два верхних уровня, то они обозначаются как «–2» (второй нижний), «–1» (первый нижний), «+1» (первый верхний) и «+2» (второй верхний).
Независимо от числа факторов матрицы ПФЭ обладают следующими общими свойствами [4]:
● симметричность относительно центра эксперимента – алгебраическая сумма элементов вектора-столбца каждого фактора равна нулю;
● условие нормировки – сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов;
● ортогональность – сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю;
● рототабельность – точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказаний значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.
Полный факторный эксперимент страдает избыточностью опытов.
Если анализ априорной информации дает основания полагать, что в выбранной области эксперимента объект описывается линейной моделью, то количество опытов можно минимизировать, сократив матрицу планирования эксперимента. Такой эксперимент называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ), а таблица его плана – дробной репликой [4, 10, 11, 13]. Уменьшение числа опытов позволяет снизить затраты времени, средств,
материалов на проведение и обработку эксперимента.