6.Математическое моделирование процесса получения полимеров ( на примере получения полистирола)

Научной основой создания полимерных производств является системный анализ. Центральное место в системном анализе занимает математическое моделирование. Математическое моделирование любого процесса получения полимеров осуществляется на основе знания гидродинамики процесса, кинетической информации, использовании теплофизических констант, что позволяет провести расчеты оптимальных вариантов синтеза, сопоставить различные условия проведения процесса, конфигурации реактора и т. п. Математическое моделирование позволяет осуществить оптимизацию технологического процесса. Методология решения такой задачи базируется на критериях оптимизции, которые позволяют сравнивать между собой различные состояния процессов. В качестве критерия оптимизации обычно выбирают производительность реактора или себестоимость полимерного материала. В этой связи можно выделить три подхода к описанию полимеризационной системы.

Три подхода к описанию полимеризационной системы

Поскольку система функционирует во взаимодействии с окружающим миром, то на нее оказывают воздействия различные факторы (входы системы) и, в свою очередь, она воздействует на окружающую ее среду. На рис. 6.1 показана схема внешних связей полимеризационной системы.

Рисунок 6.1 – Схема внешних связей системы

К входным параметрам относятся характеристики мономеров и инициаторов, растворителей и других компонентов системы. В результате химических, физико-химических преобразований в системе получаются полимерные продукты, свойства, соотношение и состав которых являются выходными параметрами (Y).

Система подвергается возмущениям, которые могут отклонить выходные параметры от заданных регламентом значений. К возмущающим параметрам относятся, например, тепловой эффект реакции полимеризации, изменение соотношения компонентов на входе, интен-сивность перемешивания и т. д. Для того, чтобы компенсировать возмущающие параметры и получить необходимые характеристики на выходе, используются параметры управления. К ним относятся расход реагентов, температура, тип теплоносителя, тип реактора и другие.

Если определены векторы входных (Х), выходных (Y), возмущающих (Z) и управляющих (U) параметров, то для количественного описания полимеризационной системы может быть использована математическая модель, которая представляет собой совокупность уравнений, отражающих сущность явлений, протекающих в системе и связывающих выходные параметры с входными, возмущающими и управ-ляющими параметрами, а также с конструктивными характеристиками оборудования. В математическую модель полимеризационной системы входят следующие уравнения:

• кинетики и гидродинамики;

• теплообмена и массообмена для гетерогенных систем.

Например, для реактора смешения непрерывного действия были получены дифференциальные уравнения теплового баланса и материальных балансов по мономеру и катализатору для i-го реактора:

где С_i,C_j – массовые концентрации мономера и полимера, масс. %; V – эффективный объем реактора, м³; G_Р – расход реакционной среды (мономер и растворитель), кг/ч; ρ – плотность реакционной смеси, кг/м³; q – тепловой эффект реакции, кДж/кг; с_Р – удельная теплоемкость реакционной смеси, кДж/(кг⋅К); α_Т – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²⋅К); F – поверхность теплоотдачи, м²; Т_Х – температура хладоагента, К; n – число реакторов в каскаде.

Система уравнений является математической моделью процесса и используется затем для расчета реактора смешения непрерывного действия.

Математическое описание полимеризационной системы

Математическое описание функционирования системы в общем виде представляет собой уравнение вида :

Вид такой функции можно получить из трех разных подходов.

Первый из них называют структурным. Суть его заключается в следующем. Для создания математической модели системы прежде всего исследуют ее структуру – составляющие систему элементы и характер взаимодействия между ними. Применительно к технологическому процессу синтеза полимера это означает расшифровку его механизма. В ре-зультате получается схема процесса и его мысленная модель.

Например, для полимеризации стирола была предложена следующая схема процесса, включающая следующие стадии.

Инициирование:

Скорость образования есть r_u.

Рост цепи:

…………………………,

Передача цепи:

(на растворитель),

(на мономер).

Обрыв цепи:

(рекомбинация),

(диспропорционирование).

Скорость изменения концентрации :

Скорость расходования мономера:

Для длинных цепей вторым членом можно пренебречь.

Скорость образования неактивного полимера с длиной цепи n:

Решение этих уравнений дает изменение концентрации мономера, полимера и свободных радикалов как функцию времени реакции. Решение уравнений требует больших затрат времени даже с использованием быстродействующих ЭВМ. Обычно при расчете концентраций радикалов и полимера используют методы Рунге-Кутта с автоматическим вы-бором шага, предназначенные для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Второй подход к описанию системы – эмпирический. Его называют также методом «черного ящика». В этом методе изменяют значения входов и определяют, как при этом изменяется отклик системы. Каждый акт – изменение входов и определение отклика – есть не что иное, как эксперимент. Проводя определенное число экспериментов, можно затем их результаты описать эмпирическим уравнением или системой эмпирических уравнений. Эти уравнения и будут математической моделью, которой можно затем воспользоваться для моделирования данной системы и управления ею.

Например, вид функции при этом может иметь следующий вид:

,

где Х₁, Х₂…Х_n – переменные и a₀, a₁…a_n – коэффициенты.

Кроме кинетического и эмпирического методов математического описания системы, можно использовать третий метод – метод Монте-Карло. Он обычно применяется в том случае, когда механизм настолько сложен, что не поддается ни кинетическому, ни статистическому моделированию. Метод заключается в прямом моделировании на ЭВМ слу-чайного процесса образования полимера. Кстати, его нельзя применять в технологических расчетах и автоматизированных системах управления, но он может оказаться полезным при фундаментальных исследованиях, в частности при проверке адекватности предложенного механизма реакции, выяснении вида ММР и т. д.

Сущность метода заключается в следующем. В память машины вводится исходная информация :механизм процесса полимеризации, величины кинетических констант, число свободных мономерных звеньев, число частиц инициатора, количество мономера и т. д. После этого ЭВМ начинает моделировать процесс, выбирая из всех возможных стадий в соответствии с их вероятностями.

Моделирование полимеризационных процессов и их оптимизация

В последние годы все чаще специалисты используют математическое моделирование полимеризационных процессов, позволяющее провести расчеты оптимальных вариантов синтеза, сопоставить различные условия проведения процесса, конфигурации реактора и т. п. Например, на основе кинетического анализа удалось увеличить производительность реактора термической полимеризации стирола в массе на 60 % и на 10…30 % улучшилось качество продукта, повысилась его прочность и теплостойкость. Ниже представлена схема разработки процесса синтеза полимеров с помощью математического моделирования.

1. Формулирование глобальной цели разработки.

2. Анализ предварительных данных и получение ориентировочных зависимостей для расчета и оценки:

• кинетики, молекулярных свойств;

• реологических, теплофизических и термодинамических свойств;

• коэффициентов тепло- и массообмена.

3. Построение математических моделей и расчет вариантов технологических схем и аппаратуры, выбор наиболее перспективных вариантов.

4. Установление необходимости экспериментальных работ, их объема и способов проведения.

5. Создание экспериментальных установок.

6. Получение уточненных данных по следующим параметрам:

• кинетике и термодинамике;

• свойствам реакционных сред;

• процессам тепло- и массообмена;

• оценки принципиальной работоспособности вариантов аппаратуры и способов управления.

7. Уточнение математических моделей и способов расчета технологической схемы и аппаратуры.

8. Проверка достаточности полученных данных.

9. Выдача исходных данных для проектирования.

На первом этапе моделирование процесса включает выражение его в виде математической записи, связывающей основные параметры, влияющие на процесс, с учетом граничных условий и затем составление алгоритма, необходимого для получения конечных уравнений связи между параметрами. Второй этап математического моделирования заключается в том, что при помощи алгоритма изменяются различные параметры в необходимом направлении, выбираются оптимальные условия и устанавливается адекватность (соответствие) модели изучаемому образцу. Одним из основных достоинств, применения математического моделирования при разработке полимеризационного процесса является возможность осуществления его оптимизации. В общем случае под оптимизацией производства полимерных материалов понимают улучшение его качества, увеличение выпуска продукта и снижение затрат. При оптимизации технологических процессов синтеза полимеров в качестве критерия оптимальности целесообразно принимать максимальную производительность с учетом требований к качеству получаемого полимера.

Методология оптимизации включает:

• выбор критериев оптимальности;

• установление ограничений;

• выбор оптимизирующих факторов;

• запись целевой функции.

Критерий оптимизации – это главный признак, по которому судят о том, насколько хорошо функционирует данный процесс, насколько хорошо решена задача оптимизации. Он должен удовлетворять следующим требованиям:

• должен быть единственным;

• выражаться числом;

• изменяться монотонно при улучшении качества функционирования системы.

Первое требование – самое тяжелое требование. Дело в том, что исследователя полимеризации интересует ряд выходов полимера, и он хочет, чтобы на каждом из них процесс был наилучшим. При постановке задачи оптимизации необходимо требовать достижения экстремального значения лишь одной величины. Таким образом, одновременно процессу не должно приписываться два или более критериев оптимальности, так как практически во всех случаях экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого. В этой связи правильная постановка задачи должна формулироваться так: получить максимальную производительность при заданной себестоимости или получить минимальную себестоимость при заданной производительности. В первом случае критерий оптимальности – производительность, а во втором – себестоимость. Критерий оптимальности должен выражаться числом. В противном случае сопоставление различных вариантов становится крайне затруднительным. Третье требование означает, что оценивать объект можно по сле-дующему принципу: чем больше критерий, тем лучше. Но ни в коем случае не по принципу – вот это значение критерия оптимально и отклоняться от него не следует. Условия, которые необходимо соблюдать независимо от того, как их соблюдение повлияет на величину критерия оптимальности, называют ограничением. Что является ограничением? При математическом моделировании процессов синтеза полимеров принципиальное значение имеет выбор пределов изменения параметров процесса – температуры, давления и концентрации. Повышение температуры, давления и концентрации реагентов приводит к повыш-нию скорости процессов. Одним из важнейших экономических показателей производства полимеров является себестоимость продукции, которая складывается из различных затрат (сырье, амортизационные отчисления, энергетические затраты, заработная плата и другие денежные расходы). Задача оптимизации обычно сводится к нахождению минимума функции:

где F_В – мощность производства по целевому продукту В;

М, Э, А, З – переменные затраты на исходные материалы, энергию, амортизацию оборудования и заработную плату в единице времени, соответственно.

Оптимизирующими факторами являются те из них, которые в процессе оптимизации относят к управляющим. Это те воздействия, которые применяют для оптимизации процесса. Остальные факторы при этом не регулируются, хотя их значения учитывают при определении оптимальных условий. Эти факторы фигурируют в задаче в качестве ограничений типа равенства. Если производство проектируется (оптимальное проектирование), то к числу оптимизирующих целесообразно отнести как можно больше факторов. На этой стадии регулировать факторы проще всего: регулирование (изменение значений) осуществляется не в действительности, а на математической модели. Поэтому здесь желательно найти оптимальное значение максимального числа факторов.

Однако задача оптимизации возникает и после пуска производства (опытное управление). При этом число оптимизирующих воздействий становится существенно меньше. Часть факторов исследователи уже не могут менять. Таковы, например, размеры реакторов. Но и нецелесообразно теперь регулировать все остальные факторы. Дело в том, что чем больше управляющих факторов, тем сложнее система управления, сложнее ее математическая модель. Согласно методологии оптимизации на первом этапе целесообразно рассмотреть задачу кинетической оптимизации, заключающуюся в определении наилучших условий проведения полимеризации, исходя только из природы самого процесса и его кинетики. Полученные в результате решения такой задачи оптимальные режимы проведения процесса следует рассматривать как идеальные эталонные режимы, к которым могут быть приближены реальные условия осуществления процесса по конкретной технологической схеме. Постановка задачи кинетической оптимизации обусловлена наличием в процессах полимеризации нескольких одновременно протекающих и конкурирующих реакций, вследствие чего выбор оптимального режима сводится к нетривиальному решению. Кинетические уравнения определяют динамическую модель процесса, в которой концентрации реагентов (обычно мономера и инициатора) рассматриваются в качестве фазовых координат (перемен-ных состояния) управляемого объекта, а температура – в качестве управляющего параметра. Критерий максимальной производительности обычно дополняется требованиями к заданному качеству получаемого полимера. Более строгие требования к качеству полимера учитываются введением дополнительного уравнения, связывающего относительную молекулярную массу полимера с условиями его образования. В этом случае задача кинетической оптимизации сводится к вариационной за-даче на условный экстремум. Решение задачи дает теоретически наилучший оптимальный температурный график проведения процесса в аппарате периодического действия или оптимальный температурный профиль в трубчатке или каскаде реакторов.

Следующим этапом является оптимизация технологического режима конкретного реактора или технологической схемы. Задача оптимизации сводится здесь обычно к определению оптимальных значений таких режимных параметров процесса, как температура в реакторе и концентрация во входном потоке. Модель полимеризатора включает в себя прежнюю систему кинетических уравнений процесса, дополнен-ную уравнениями тепло- и массообмена для конкретного типа реактора. Температура в реакторе рассматривается теперь как фазовая координата, а в качестве истинных управляющих воздействий принимаются такие переменные, как температура теплоносителя, температура входного потока, входная концентрация инициатора. Требования к качеству получаемого полимера удобно учитывать путем наложения ограничений на варьируемые режимные переменные. Математическая задача оптимизации сводится к задаче нелинейного программирования и заключается в отыскании экстремума функции нескольких переменных. Если процесс осуществляется в реакторе смешения непрерывного действия, то функция цели определяется некоторым конечным соотношением, в которое входят варьируемые режимные параметры. Если процесс осу-ществляется в реакторе вытеснения непрерывного действия, то функция цели определяется решением системы дифференциальных уравнений, в которой варьируются начальные условия. Типичным примером такой задачи является оптимизация многозонного реактора трубчатого типа.