3.2. Матричный подход к определению коэффициентов регрессии

Запишем для нашего случая матрицы X, Y, B:

(6.3)

В матрице X все элементы первого столбика равны единице. Будем считать это фиктивной входной переменной X₀ с постоянным значением.

Определим размерность этих матриц:

● Y – вектор наблюдений (m · 1);

● X – матрица независимых переменных (m(k + 1));

● В – вектор коэффициентов регрессии ((k + 1) · 1).

Правила умножения матриц и векторов требуют, чтобы они были согласованными и имели соответствующую размерность [9, 12].

Пусть А – матрица размерностью (n · p):

● на матрицу А только слева может быть умножена матрица В размерностью (m · n):

B · A = (m · n · n · p) = C(m · p); (6.5)

● на матрицу А только справа может быть умножена матрица D размерностью (p · q):

A · C = (n · p · p · q) = F(n · q). (6.6)

Следовательно, произведение В · Х не существует и множественная линейная регрессия может быть записана в виде

Y = X · B. (6.7)

Использование аппарата линейной алгебры позволяет получить общую формулу для определения вектора, содержащего коэффициенты регрессии [9]:

B = (X' · X) ^–1 = X' · Y, (6.8)

где (X' · X) ^–1 – обратная матрица;

X' – транспонированная матрица.

Определением коэффициентов регрессионной модели построение модели не заканчивается. Необходимо также определить адекватность и точность предлагаемой многофакторной модели.

3.3. Оценка адекватности и точности многофакторной линейной модели

Адекватность модели характеризует соответствие модели экспериментальным данным и статистическую значимость уравнения регрессии.

Адекватность регрессионной модели оценивается коэффициентом Фишера

(6.9)

Расчетное значение коэффициента (Fрасч) необходимо сравнить с табличным значением (Fтабл(m, α)), где m – общее количество экспериментальных наблюдений, α – уровень значимости.

α – уровень значимости – вероятность, с которой правильная гипотеза о модели может быть отвергнута как неправильная. Обычно в моделировании (и мы об этом уже говорили) используют значения α = 0,05; 0,01.

Однако для многофакторных моделей табличное значение F-критерия зависит еще и от числа входных переменных [9].

Если Fрасч > Fтабл, то модель считается адекватной, а регрессия статистически значимой. Если Fрасч < Fтабл, то регрессионная модель неадекватна и регрессия статистически незначима.

Для оценки точности регрессионных моделей с несколькими входными переменными используется множественный коэффициент корреляции (R₂) [4], который определяется по формуле

(6.10)

Отношение R₂ характеризует тесноту связи между выходной переменной и входными переменными. Область определения отношения R₂ лежит в пределах от 0 до 1. При R₂ = 0 выходной фактор y линейно не зависит от входных факторов x₁, x₂, …, xk – можно сказать, что корреляционная связь между выходным фактором и входными факторами отсутствует.

При R₂ = 1 выходной фактор y линейно зависит от входных факторов x₁, x₂,…, xk – имеется в наличии сильная корреляционная связь. Чем выше значение R₂, тем теснее связь в модели между выходной переменной (фактором) и входными переменными (факторами), тем точнее, а следовательно,лучше математическая модель. Если модель имеет низкое значение R₂, то она имеет низкую точность оценки и предсказания поведения или свойств объекта. Использовать такую модель для исследования, описания и предсказания объекта не рекомендуется. Из нескольких моделей для исследования выбирается та, у которой отношение R₂ имеет наибольшее значение.