Нормальное распределение

Нормальное распределение является одним из видов распределения непрерывной случайной величины. Наблюдаемые значения непрерывной случайной величины могут принимать любые значения, лежащие в некотором интервале значений. В большинстве случаев при контроле качества продукции приходится иметь дело с измерением размеров изделий или других, поддающихся измерениям. характеристик; эти характеристики изделий при контроле производственного процесса довольно часто подчиняются приближенно нормальному распределению.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

f(x)=

Из формулы видно, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и σ. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Вероятностный смысл этих параметров таков : а-есть математическое ожидание нормального распределения, σ –среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) – рисунок 6. Кривая нормального распределения имеет следующие свойства:

1. Симметричная кривая имеет колоколообразную форму и асимптотически стремится к нулю на обоих краях. Точки перегиба имеют координаты μ+σ и μ-σ.

2. Кривая имеет параметры α₃=0 и α₄=3.

3. Вероятность того, что случайная величина будет находиться в пределах выбранных интервалов значений, составляет:

интервал значений вероятность

μ ± 1σ 0,6827

μ ± 2σ 0,9545

μ ± 3σ 0,9973

4. Многие распределения (например, биномиальное) при уведичении объема выборки стремятся к нормальному распределению. В связи с этим нормальное распределение часто можно использовать как приближеное к точному распределению, определяемому из теоретических соображений.

Выясним как влияют на форму и расположение нормальной кривой значения параметров а и σ.

Изменение величины параметра а не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси ОХ: вправо, если а возрастает , и влево, если а убывает.

С возрастанием σ максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ОХ; при убывании σ нормальная кривая становится более “островершинной” и растягивается в положительном направлении оси ОУ.

Однако, при любых значениях параметров а и σ площадь, ограниченная нормальной кривой и осью Х, остается равной единице.

Тема:

Критерии оценок параметров

Под термином «статистический вывод» понимается составление заключений относительно генеральной совокупности на основании информации, полученной из выборки или выборок.

Выводы бывают следующих типов.

1. Точечные оценки параметров. При этом отвечают на вопрос : что является наилучшей оценкой некоторого параметра?

2. Интервальные оценки параметров. Определяют, какой интервал величин занимает «правильная оценка», в пределах которой находится параметр. Верхний и нижний пределы этого интервала называют доверительными пределами.

3. Проверка гипотез.

На практике, при оценке контролируемых параметров мы будем иметь дело с нормами контроля, которые имеют нижний и верхний пределы, что соответствует следующей формуле описания плотности нормального распределения :

f(x)= 1/√2π

Выраженииие для вычисления вероятности попадания контролируемого участка в пределах от α до β напрямую зависит от пределов интегрирования.

Так вероятность попадания параметра на участок от α до β находится из выражения

Р(α < λ< β )=Ф( )+Ф( ),

где - среднее значение контролируемого параметра;

σ – среднее квадратическое отклонение

σ = .

На практических занятиях мы разберем пример на определение вероятности попадания контролируемого параметра в заданные пределы, сделаем оценку расхождения между средними значениями, определим значимость среднего значения.

Общепринятая практика оценки качества тех или иных резин, полуфабрикатов и готовых изделий, принятая в шинной, резиновой и смежной промышленности, заключается в сравнении среднеарифметических величин, полученных при каком-то заданном или случайном числе испытаний. Указанная практика не учитывает статистического характера сравниваемых показателей и в ряде случаев может не только дать неверную оценку качества продукции, но и привести к аварии. Сравнение целого ряда показателей, в первую очередь тех, которые непосредственно определяют работоспособность изделия, должно проводиться с учетом характера распределения измеряемых величин, с проведением необходимых статистических оценок.

Определение доверительного интервала для средних значений. Средняя ошибка средней арифметической. Если средняя арифметическая показателя определяется из сравнительно небольшого количества испытаний, то нельзя быть уверенным, что полученный результат точно характеризует среднюю величину генеральной совокупности. Поэтому необходимо иметь дополнительную характеристику, которая позволила бы по частному значению среднего арифметического судить об общей (генеральной средней арифметической μ изучаемого показателя). Такой дополнительной характеристикой является средняя ошибка (m), которую вычисляют по формуле

m = ± σ ∕√n,

где n – объем выборки

Среднюю ошибку используют при оценке достоверности средней арифметической показателя. При нормальном распределении и большом количестве испытаний в 683 случаях из 1000 должен получаться результат, изменяющийся в пределах

Р=0,683 μ = ±m

Р=0,954 μ = ± 2m

Р= 0,997 μ = ± 3m

В общем случае μ = ± tm, где t- критерий Стьюдента Табличные значения критерия Стьюдента для объема выборки ≥ 30 приведены в приложении 4. При меньшем числе данных величина t определяется в зависимости от заданной вероятности Р и числа степеней свободы К.

При расчетах конструкций, оценке качества того или иного материала, полимерной композиции необходимо пользоваться не средними значениями, а значением минимума доверительного интервала. (Примеры в методичке 2).