Случайные величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример. Число родишихся мальчиков среди 100 новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения :0,1,2…,100.

Расстояние которое пролетит снаряд при выстреле, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (направление ветра, температура и т.д.), которые не могут быть полностью учтены.Возможные значения этой величины пинадлежат некоторому промежутку (а,b).

Случайные величины можно разделить на дискретные (прерывные) и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретные случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически ( в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

Х х₁ х_{2 …} х_n

p p₁ p_{2 …} p_n

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события Х= х_1, Х= х₂ , …Х= х_n образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий (т.е. сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице:

p_{1 +} p_{2 + … +} p_n = 1

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выиграш в 50 гривен и десять выиграшей по 1 гривне. Найти закон распределения случайной величины Х-стоимости возможного выиграша для владельца одного лотерейного билета.

Решение Напишем возможные значения Х: х₁=50; х₂=1; х₃ =0.

Вероятности этих возможных значений таковы:

p_{1 =} 0,01; p₂ =0,1; p₃ = 1-( p_{1 +} p₂ )=0,89

Искомый закон распределения следующий:

Х 50 10 0

р 0,01 0,1 0,89

Контроль: 0,01 +0,1+0,89=1

Биномиальное распределение.

Когда элементы бесконечной генеральной совокупности могут принимать только два значения (скажем 0 или 1 – годное или дефектное), распределение выборочных величин (или сумм, или средних) часто является биномиальным. Так, например, если доброкачественное изделие обозначить через 0, а дефектное –через 1, то выборочная сумма равна количеству негодных изделий d,в выборке, а среднее значение выборки равно доле дефектных изделий р.

Т.к. контрольные карты, применяемые для определения количества или процентного соотношения дефектных изделий, получаются обычно на основе более или менее периодических выборок из генеральной совокупности, которую можно считать неограниченно большой, то при контроле процесса производства особенно часто используется биномиальное распределение. Это распределение применяется также и при контроле качества партии изготовленной продукции, когда значение N по сравнению с значением n достаточно велико.

Теоретическое распределение числа дефектных изделий в выборках, содержащих n изделий и взятых из бесконечной генеральной совокупности, относящейся к процессу производства и характеризуемой средней долей дефектных изделий Р, определяется путем разложения бинома (Р+Q)ⁿ, где Q обозначает долю доброкачественных изделий, т.е. Р+Q=1. Если объем выборки равен 4(т.е. если выборка содержит 4 изделия), то

(Р+Q)⁴= Q⁴ +4 РQ³+6 Р²Q²+4 Р³Q+Р⁴

Последовательно расположенные члены ряда определяют вероятность получения количества дефектных изделий, равного показателю степени Р. В более общем виде мы можем написать:

(Р+Q)ⁿ= Qⁿ +n РQ^n-1+ Р²Q^n-2+ Р³Q^n-3+…+Рⁿ

Это выражение можно преобразовать к виду

Р(d)=( )p^dQ^n-d= ( )p^dQ^g (1)

где d обозначает количество плохих, или дефектных, изделий в выборке , а g –количество хороших, или доброкачественных, изделий в выборке. Таким образом

d+g=n

Эта формула объясняется следующим образом.

Согласно следствию из теоремы 7 вероятность того, что любые d изделий окажутся дефектными, составляет p^d. Вероятность того, что любые n-d изделий окажутся доброкачественными, равна Q^n-d. Следовательно, вероятность того, что любые d изделий будут дефектными, а другие n-d – доброкачественными, составляет p^dQ^n-d. Однако d дефектных и n-d хороших изделий могут быть получены ( ) способами.

Таким образом, вероятность получения d дефектных изделий и n-d хороших изделий составляет: ( )p^dQ^n-d

Вычисление теоретического распределения.

Предположим, что извлекаются выборки по 3 изделия из генеральной совокупности, 40% изделий которой являются дефектными. Подставляя n в формулу (1) численные значения n и Р, получаем:

Р(d)= ( ) (0.4)^d(0.6)^g

Результаты вычислений приведены в таблице 5.

Таблица5 -Вычисление биномиального распределения (n=3,P=0,4)

p	d	g	( )	(0,4)d	(0,6)g	P(d)	интегральная вероятность
0,000	0	3	1	1,000	0,216	0,216	0,216
0,333	1	2	3	0,400	0,360	0,432	0,648
0,667	2	1	3	0,160	0,600	0,288	0,936
1,000	3	0	1	0,064	1,000	0,064	1,000

В первом столбце показано, что распределение можно рассматривать скорее как распределение доли дефектных изделий р, чем как распределение количества дефектных изделий в выборке d.Численное значение ( ) можно взять непосредственно из таблицы приложения 5.(Эти значения являются также значениями и для ( ), т.к. d+g=n).

Цифры, приведенные в столбце (0,4)^d, получены путем последовательного умножения чисел, начиная с первой строчки этого столбца:

1*0,4=0,4;0,4*0,4=0,16;0,16*0,4=0,064,

а цифры в столбце (0,6)^g получены аналогичным образом, но последовательное умножение производилось, начиная с последней строки столбца.

Численные значения относительных частот приведены в двух последних столбцах (3*0,4*0,36=0,432).

Параметры. Непосредственное вычисление.

Среднее значение распределения числа дефектных изделий, приходящихся на выборку, при k выборках объемом n равно . Математическое ожидание d, обозначаемое символом E(d), есть среднее количество дефектных изделий во всех возможных выборках объема n , т.е. среднее значение для распределения вероятностей d . Эта величина получается путем умножения каждого возможного значения d на вероятность его появления и сложения этих произведений. Таким образом,

Е(d) = =0*0,216+1*0,432+2*0,288+3*0,064=1,2

Интересно также обратить внимание на тот факт, что

Е(d) =nP=3*0,4=1.2

Аналогичным образом для доли дефектных изделий

и

Е(р)= =0,000*0,216+0,333*0,432+0,667*0,288+1,0*0,064=0,4

Следует отметить, что Е(р)=Р=0,4. Совершенно очевидно, что т.к. каждый член в формуле для Е(р) равен точно одной трети соответствующего члена в формуле для Е(d), то результирующее значение также составляет только одну треть. Таким образом, в общем случае

Е(р)=Е(d)/ n

Непосредственное вычисление различных моментов можно производить в том порядке, который указан в таблице 6 (для количества дефектных изделий) и таблице 7 (для доли дефектных изделий).

Заметим, что μ^r(d)=n^r μ_r (p) , но α_r(d)= α_r(p)

Формулы для параметров. В целях упрощения сравнения, в следующей таблице приведены формулы для параметров, описывающих теоретическое распределение числа и доли дефектных изделий *):

Определеннный интерес представляют также коэффициенты эксцесса:

μ₄ (d)=3(nPQ)²+(1-6PQ)(nPQ),

μ_r (p)=3(pq/n)+(1-6PQ)(PQ/n²),

α₄(d)= α₄(p)=3+[(1-6PQ)/nPQ],

Если Р=0,211325, то α₄=3

Если Р<0,211325, то α₄>3 и распределение является островерхим.

Если Р>0,211325, то α₄<3 и распределение является плосковершинным

Таблица 6 -Вычисление первых четырех моментов, α₃ и α₄ при биномиальном распределении количества дефектных изделий (n=3,P=0,4)

d	P(d)	d-E(d)	[d-E(d)]P(d)	[d-E(d)]2P(d)	[d-E(d)]3P(d)	[d-E(d)]4P(d)
0	0.216	-1.2	-0.2592	0.3110	-0.3732	0.4478
1	0.432	-0.2	-0.0864	0.0173	-0.0035	0.0007
2	0.288	0.8	0.2304	0.1843	0.1474	0.1179
3	0.064	1.8	0.1152	0.2074	0.3733	0.6719
μr(d)			0.0000	0.72	0.144	1.238
σrd			0.8485*)	0.72*)	0.6109	0.5184
αr (d)			…	…	0.236	2.39
*)0.8485=√0.72. Обратите внимание, что 0,72 является точным значением

Таблица 7 - Вычисление первых четырех моментов, α₃ и α₄ при биномиальном распределении доли дефектных изделий (n=3,P=0,4)

р	P(р)	р-Р	[р-Р]P(р)	[р-Р]2P(р)	[d-Р(р)]3P(р)	[d-Р(р)]4P(р)
0,000	0.216	-0,400	-0,0864	0,03456	-0,01382	0,00553
0,333	0.432	-0,067	-0,0288	0,00192	-0,00013	0,00001
0,667	0.288	0,267	0,0768	0,02048	0,00546	0,00146
1,000	0.064	0,600	0,0384	0,02304	0,01382	0,00829
μr(р)			0.0000	0,08	0,00533	0,0153
σrd			0.2828*)	0,08*)	0,02263	0,0064
αr (р)			…	…	0,236	2,39
*)0.2828=√0.08. Обратите внимание, что 0,08 является точным значением

В целях упрощения сравнения, ниже в двух колонках соответственно приводятся формулы для параметров, описывающих теоретическое распределение числа и доли дефектных изделий

Числовая характеристика распределения	Количество дефектных изделий	Доля дефектных изделий
Математическое ожидание	Е(d)=nP (2)	Е(p)=P (6)
Дисперсия или второй момент	μ2(d)=σ2d=nPQ (3)	μ2(р)=σ2р=PQ/n (7)
Третий момент	μ3(d)=(Q-P)nPQ (4)	μ3(p)=(Q-P)[PQ/n2] (8)
Коэффициент ассиметрии	α3(d)= α3(p)=(Q-P)/[√nPQ] (5)

Применительно к рассматриваемому примеру, т.е. для случая, когда n=3 и P=0,4, получаем следующие численные значения:

E(d)=3*0.4=1.2; E(p)=0.4

μ₂(d)= σ²_d=3*0.4*0.6=0.72 μ₂(р)=σ²_р=(0.4*0.6)/3=0.08;

σ_d=√0.72=0.8485; σ_p=√0.08=0.2828;

μ₃(d)=(0.6-0.4)*0.72=0.144 μ₃(p)= 0.2(0.4*0.6)/9=0.00533

α₃(d)= α₃(p)=(0.2/0.8485)=0.236

Cтандартная ошибка доли дефектных изделий. Cтандартная ошибка доли дефектных изделий является очень важной характеристикой приобработке статистических данных вообще и при контроле качества в частности, поэтому ее надо рассмотреть более детально.

Пример. Если бесконечная генеральная совокупность состоит из изделий, которые являются либо годными, либо дефектными, то можно условиться, что различным изделиям приписываются значения либо 0 (годные), либо 1 (дефектные). Таким образом, если доля дефектных изделий составляет 0,4, то такое распределение можно записать так:

Х Р(Х)

0. 0,6

1. 0,4

Всего 1,0

Среднее значение и стандартное отклонение для такой генеральной совокупности могут быть вычислены обычным способом:

Х Р(Х) ХР(Х) Х²Р(Х)

0 0,60 0,00 0,00

1 0,40 0,40 0,40

Всего: 1,00 Е(Х)=0,40 Е(Х²)=0,40

Квадрат среднего значения [Е(Х)²]=0.16

Дисперсия σ²_х=0,24

Таким образом σ²_х=0,24 и эта же величина равна PQ. В том, что это действительно должнно быть так, легко убедиться, если рассмотреть порядок вычислений σ²_х

σ²_х=(0)*Q+(1)*P-P²=P-P²=P(1-P)=PQ

Теперь обычным способом вычисляем стандартную ошибку и дисперсию среднего значения приведенного выше распределения

σ²_х= σ²_х/n

Т.к. =р и σ²_х=PQ, то, очевидно, что

σ²_х= σ²_р=PQ и σ_p= √PQ/n

Рассмотрим теперь зависимость σ_p от P и n. Из рассмотрения приведенной выше формулы следует, что σ_p имеет максимальное значение, когда P=Q=0.5 и изменяется обратно пропорционально √n. Характер зависимости σ_p от P и n можно выявить более четко, если обратиться к таблице 8, в которой приведены значения σ_p для некоторых конкретных значений P и n. Значения P в таблице приведены только до 0,5, т.к. для значений Р, дополняющих указанные значения до единицы, σ_p будет иметь такую же величину.

Таблица 8 –Значения σ_p для некоторых значений P и n

n	Р илиQ
	0,001	0,01	0,05	0,1	0,2		0,3	0,4	0,5
5000	0.00045	0.0010	0.0031	0.0042	0.0057		0.0065	0.0069	0.0071
1000	0.0010	0.0033	0.0069	0.0095	0.013		0.014	0.015	0.016
500	0.0014	0.0044	0.0097	0.013	0.018		0.020	0.022	0.022
100	0.0032	0.010	0.022	0.03	0.040		0.046	0.049	0.050
50	0.0045	0.014	0.031	0.042		0.057	0.065	0.069	0.071
10	0.010	0.031	0.069	0.095	0.126		0.145	0.155	0.158
5	0.014	0.044	0.097	0.134	0.179		0.205	0.219	0.224

Коэффициент асимметрии доли дефектных изделий

Формула для коэффициента асимметрии биномиального распределения

α₃(d)= α₃(p)=(Q-P)/[√nPQ]

указывает на то, что асимметрия является положительной, когда Q>P ( что обычно имеет место при контроле качества), и отрицательна, когда P>Q. В случае , когда P=Q=0.5, асимметрия отсутствует. При неизменной величине n ассиметрия при увеличении отклонения Р от 0,5 также возрастает, т.к./P-Q/ становиться больше, а стоящая в знаменателе величина √ PQ уменьшается. При неизменном значении Р асимметрия изменяется обратно пропорционально √n. Таким образом, если P<0.5, асимметрия увеличивается при уменьшении как P, так и n.

Характер зависимости коэффициента асимметрии α₃ при биномиальном распределении от n и P хорошо виден при рассмотрении таблицы 9, в которой приведены значения α₃ при различных значениях n и P. Интересно отметить, что в том случае, когда n ≥500, асимметрия невелика, за исключением случаев, когда Р или Q<0,05.

Таблица 9 - Абсолютные значения α₃ для биномиального распределения при разных значениях P и n (асимметрия положительна при Q>P, равна нулю при P=Q=0,5 и отрицательна, когда P>Q)

n	Р илиQ
	0,001	0,01	0,05	0,1	0,2		0,3	0,4	0,5
5000	0,45	0,14	0,058	0,038	0,021		0,012	0,0058	0,0028
1000	1,0	0,31	0,13	0,084	0,047		0,028	0,013	0,0064
500	1,41	0,44	0,18	0,12	0,067		0,039	0,018	0,0090
100	3,16	0,98	0,41	0,27	0,15		0,087	0,041	0,020
50	4,47	1,39	0,58	0,38		0,21	0,12	0,058	0,028
10	9,99	3,11	1,31	0,84	0,47		0,28	0,13	0,064
5	14,12	4,40	1,85	1,19	0,67		0,39	0,18	0,090

Следует отметить, что в том случае, когда n ≥500ассиметрия велика, за исключением случаев, когда P или Q меньше 0,05.

Распределение Пуассона

При увеличении объема выборки n и пропорциональном уменьшении доли дефектных изделий Р в генеральной совокупности при неизменном значении nP биномиальное распределение приближается к предельному вду

P(d)=[(nP)^d/d!]e^-nP (2)

известному как распределение Пуассона. Т.к. nP-ожидаемое значение числа дефектных изделий в выборках объемом n, то при желании можно в формуле (2) вместо nP подставить E(d) или заменить громоздкое обозначение E(d) символом а (среднее значение d )= E(d)=nP и записать формулу в виде

P(d)= (a^d/d!)*e^-a (3)

На практике, при контроле качества, распределение Пуассона используется для двух типов данных:

• для дефектных изделий при большом n и малом Р;

• для дефектов, приходящихся на единицу выпускаемого изделия.

В первом случае распределение Пуассона является приближением к биномиальному и достаточно точным для практических целей при достаточно большом n и достаточно малом Р.

Для обозначения количества дефектов будем использовать букву с, а для обозначения количества дефектных изделий буквой d.Формула для теоретического определения числа дефектов, приходящихся на изделие, аналогична (2), за исключением того, что d заменяется на с, а под а следует понимать математическое ожидание с, т.е. Е(с).

Р(с)=(а^с/с!)е^-а

Рассматривая распределение Пуассона как предел биномиального при возрастании n и постоянном значении nP, легко показать, что для распределения Пуассона σ²=nP.Напоминаю,что

σ²_d (биномиальное распределение )=nPQ.

При увеличении n величина Р пропорционально уменьшается. Но, когда Р приближается к 0, а Q к 1. Следовательно,

σ²_d (распределение Пуассона)=nP,

и дисперсия распределения Пуассона всегда больше дисперсии соответсвующего биномиального рапределения, причем множителем пропорциональности является 1/ Q.

Аналогично для третьего момента и коэффициента асимметрии имеем:

μ₃(d)(биномиальное распредление)=(Q-P)nPQ.

Когда Р приближается к 0, Q приближается к 1 и (Q-P) приближается к 1.Следовательно,

μ₃(d) (распределение Пуассона)=nP.

Т.к. γ₁=α₃=μ ₃/σ³ , то

γ₁ (d)(распределение Пуассона) =1/√nP.

Ясно, что распределение Пуассона всегда имеет положительную асимметрию. Однако чем больше среднее число дефектных изделий, приходящихся на выборку, тем меньше асимметрия.*)

*) Коэффициент эксцесса для распределения Пуассона

μ₄(d) =nP(1+3 nP); γ₁ (d)= α₄(d)-3=1/ nP.

Распределение Пуассона , таким образом, всегда является островершинным, при этом островершинность уменьшается при увеличении среднего числа дефектных изделий на выборку.

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию n=5000, p=0.0002, d=3. Найдем математическое ожидание

а=nP=5000*0,0002=1

По формуле (3) искомая вероятность приближенно равна

Р₅₀₀₀(3)= (a^d/d!)*e^-a= е^-1/3!=1/1*2*3*е=1/6е=0,06

Так выражается закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий.

Полиномиальное распределение.

Иногда представляется необходимым знать распределение выборок, получаемых в условиях возвращения изделий. Например, необходимо рассмотреть распределение выборок объемом n=3 из генеральной совокупности N=5для случая, когда при любой выборке мы одновременно берем по одному изделию, возвращая его в генеральную совокупность до того, как совершаем следующий выбор. Если генеральная совокупность состоит из изделий a,b,c,d,e , то выборки и частота их появления определяется разложением полинома (a+b+c+d+e)³. Количество возможных выборок равно Nⁿ, что в рассматриваемом нами случае составляет 125. Вероятность получения выборок различных типов равна:

• в выборку одно и то же изделие попало 3 раза (3!/3!0!0!)*1/5³=1/125

• в выборку попали: дважды одно и то же изделие и один раз другое изделие (3!/2!1!0!)* 1/5³=3/125;

• в выборку попали три различных изделия (3!/1!1!1!)* 1/5³=6/125

Переходя к буквенным обозначениям величин, следует написать:

Р(n₁,n₂,n₃)= (3!/ n₁ !,n₂ !,n₃!)*P³, (4)

где n₁ обозначает, сколько раз некоторое конкретное изделие попало в определенную выборку, причем n₁+n₂+n₃ = n_.

Обратите внимание на то, что выражение для сочетаний приведенное ранее N!/(n!(N-n)!), является частным случаем (когда n_{3 =}0) выражения n!/ (n₁!,n₂ ,n₃!). Здесь Р-относительное количество изделий той или иной определенной группы в генеральной совокупности, т.е.P_i=N_i/n. Формула (4) применима только в том случае, когда P₁=P₂=…=P_n=P.

Если относительное количество изделий различных групп в генеральной совокупности различно, то необходимо заменить Рⁿ на . Таким образом,

P(n₁,n₂,…,n_n)= (n₁!/ n₁! n₂!… n_n!)P₁ⁿ¹P₂ⁿ²…P_k^nk (5)

Всевозможные выборки (с возвращением) объемом в 3 изделия из генеральной совокупности, содержащей 5 изделий приводятся в таблице 10.

Таблица10 - Выборки объемом в 3 изделия, выполненные с возращением изделий;генеральная совокупность имеет 5 изделий

Выбрка	Частота	Выбрка	Частота	Выбрка	Частота	Выбрка	Частота
aaa	1	bba	3	ddb	3	abe	6
bbb	1	bbc	3	ddc	3	acd	6
ccc	1	bbd	3	dde	3	ace	6
ddd	1	bbe	3	eea	3	ade	6
eee	1	cca	3	eeb	3	bcd	6
aab	3	ccb	3	eec	3	bce	6
aac	3	ccd	3	eed	3	ade	6
aad	3	cce	3	abc	6	cde	6
aae	3	dda	3	abd	6	Всего	125

Осуществление выборок с возвращением из генеральной совокупности конечных размеров приводит к тем же результатам, что и осуществление выборки без возвращения из бесконечной дискретной генеральной совокупности, которая имеет различные изделия в той же самой пропорции, что и генеральная совокупность конечных размеров. Так как часто приходится иметь дело с генеральными совокупностями, которые принимаются за бесконечные, то полезно иметь возможность вычислять вероятность получения из такой генеральной совокупности каждой возможной выборки.