2. Функция автокорреляции

Погрешности измерений, обусловленные наведенными помехами и собственными шумами электронных приборов, описываются с помощью математической теории случайных процессов. Основные понятия этой теории, используемые далее при нормировании случайной составляющей погрешности измерений, определяются ГОСТ 8.009.

Отличительной чертой случайного процесса является невозможность предсказания его мгновенного значения, поэтому отдельные его реализации описываются случайными функциями x(t), значения которых в любой момент времени t являются случайными величинами. Запись мгновенных значений случайного процесса дает только одну реализацию случайного процесса, поскольку его повторные записи в тех же самых условиях показывают другую функцию времени.

Для аналитического описания случайных функций времени используются их статистические характеристики:

математическое ожидание:

(4.4)

среднеквадратическое отклонение (дисперсия):

(4.5)

автокорреляционная функция (усредненное произведение реализаций, сдвинутых по времени на величину τ):

(4.6)

коэф-т корреляции случайного процесса:

r(t) = R(t)/σ²_х (4.7)

Стационарный случайный процесс – с постоянными статистическими характеристиками.

Центрированный случайный процесс – с отсутствующей постоянной составляющей m_х.

Рис. хх.1. Коррелированный (а) и некоррелированный (б) случайные процессы (погрешности измерений)

Если реализация случайного процесса x(t) имеет ограниченный по частоте спектр, то при растяжении ее графика во времени наступает момент, когда он начинает выглядеть не как шум, а как извилистая гладкая кривая. Поэтому вероятность того, что при достаточно малом сдвиге τ значения функции будут различаться сильно - пренебрежимо мало. При увеличении τ эта вероятность возрастает. Поэтому при малых τ автокорреляционная функция всегда мало отличается от σ²_х, а коэф-т корреляции - от единицы.

Интервал корреляции (время корреляции) - величина временного сдвига τ_к, при превышении которого корреляцией можно пренебречь в условиях конкретных измерений:

(4.8)

Если интервал корреляции равен нулю, то случайный процесс называют некоррелированным или белым шумом. (рис.хх1). Все реальные процессы являются коррелированными, поскольку имеют ограниченную мощность и, следовательно, ограниченную полосу частот. Однако на определенном интервале времени (частот) их приближенно можно считать некоррелированными.

Определения (хх.4)-(хх.8) используются только при теоретическом анализе случайных процессов. В СА значения случайной величины всегда дискретны и количество измерений ограничено. Поэтому вместо указанных характеристик используют соответствующие им выборочные значения, или оценки соответствующих статистических параметров:

оценка математического ожидания:

(4.9)

оценка среднеквадратического отклонения:

(4.10)

оценка автокорреляционной функции:

(4.11)

В пределе при N → ∞ приведенные оценки параметров стремятся к их истинным значениям.

Отдельно взятая реализация случайного процесса x(t) является детерминированной (неслучайной) функцией, поэтому для нее можно найти спектральную характеристику с помощью преобразования Фурье:

(4.12)

Однако функция X(jω) на практике не используется, поскольку она также сложна в описании, как и x(t). Вместо нее используют понятие спектральной плотности мощности (энергетического спектра):

(4.13)

По определению, спектральная плотность мощности шума измеряется в В²/с или В² Гц, А² Гц и т.п.

В теории случайных процессов понятие мощности отличается от общепринятого: предполагается, что энергия шума выделяется на сопротивлении 1 Ом, но размерность [Ом] не указывается, поэтому вместо размерности мощности [Вт] = [В²/Ом] = [А²Ом] используется [В²], [А²]. Аналогично, энергия измеряется не в [Дж] = [В²с Ом] = [А² с Ом], а в [В² с] = [А² с].

Можно показать, что поскольку R(0) = σ²_х то при t = 0 :

. (4.14)

Если энергетический спектр лежит в диапазоне частот от f_Н > 0 до f_В (например, благодаря применению фильтра), то можно считать, что за пределами указанного диапазона частот его значения равны нулю, то:

(4.15)

Следовательно, среднеквадратическая погрешность измерения (например, напряжения σ_V [В]) в диапазоне частот [f_Н , f_В ] составит:

(4.16)

Коэф-т корреляции.

При расчете погрешности ИК возникает задача суммирования случайных погрешностей входящих в него элементов. Способ суммирования зависит степени статистической зависимости между собой этих случайных величин.

Рис. 4.2. Примеры сильной (а), R_ху = 0,954 и слабой (б), R_ху = -0,045 корреляции случайных величин X и У. Прямая линия - среднеквадратическая регрессия

Если с ростом одной случайной величины X в среднем увеличивается (или уменьшается) и вторая У (рис. 4.2), то между ними имеется статистическая зависимость. Для ее количественного описания используются понятия ковариации и коэф-та корреляции.

При суммировании 2-х центрированных случайных погрешностей X и У, дисперсия суммы по определению равна математическому ожиданию квадрата их суммы:

D[X ± У] = М[(Х ± У)²] = М[Х² ± 2ХУ + У²] = М[Х²] + М[У²] ± 2M[XY] =

= σ²_Х + σ²_У ± 2K_ХУ, (4.17)

где D[а] и М[а] - операторы дисперсии и математического ожидания; σ_Х + σ_У – среднеквадратические отклонения случайных величин X и У.

Совместная вариация (ковариация) случайных величин X и У:

K_ХУ = M[XУ] (4.18)

Ковариацию дискретных случайных величин можно оценить по их дискретным значениям X = {х₁,...х_n} и У = {у_1,…_уn} определив среднее арифметическое:

(4.19)

Коэф-т корреляции R_XY - отношение ковариации к произведению среднеквадратических отклонений σ_Х и σ_У случайных величин X и Y:

. (4.20)

Когда случайные величины X и Y независимы, R_XY = 0 и такие величины называются некоррелированными. Если R_XY = 1, то между величинами X и У имеется не статистическая, а функциональная зависимость.

Используя понятие среднеквадратического отклонения σ_Х² = D[X], (4.17):

(4.21)

Здесь знак «-» используется, когда случайные величины вычитаются (например если определяется разность напряжений 2-х измерительных каналов). При этом наличие корреляции между каналами частично уменьшает погрешность разности.

В случае, когда случайные величины статистически независимы (R_XY = 0):

(4.22)

Такое суммирование называют геометрическим, поскольку оно выполняется аналогично нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника.

Если R_XY = +1, то:

(4.23)

Если R_XY = -1, то

(4.24)

т.е. при определении суммы случайных величин, отрицательный коэф-т корреляции уменьшает итоговую погрешность, а при нахождении разности - увеличивает.

Если случайные величины не центрированы (имеют m_х и m_у), то коэф-т корреляции:

(4.25)

На рис. 4.2 показаны примеры статистической зависимости между случайными величинами при сильной (а) и слабой (б) корреляции. Точки на графике (значения случайной величины) могут группироваться очень близко к прямой линии, которая аппроксимирует эту зависимость, и тогда статистическая зависимость приближается к детерминированной. Степень отличия статистической зависимости от детерминированной характеризуют коэф-ом корреляции R_XY.

Прямая линия, проведенная таким образом, что сумма квадратов отклонений значений случайной величины от этой линии минимальна, называется линией среднеквадратической регрессии.

Тангенс угла наклона этой линии называется коэф-м регрессии. Уравнение линии регрессии можно получить методом наименьших квадратов:

у = А(х - т_Х) + т_У,

где А – коэф-т регрессии, определяемый через коэф-т корреляции R_XY и среднеквадратические отклонения σ_Х и σ_У :

(4.26)

Следовательно смысл коэф-та корреляции: для статистически центрированных переменных (с нулевым математическим ожиданием) с нормированных по величине среднеквадратического отклонения, это тангенс наклона линии среднеквадратической регрессии.

Статистическая зависимость между погрешностями СИ в общем случае нелинейная, однако этой нелинейностью обычно пренебрегают.