6. Погрешность многократных измерений

Одной из наиболее распространенных операций, выполняемых в системах сбора данных и управления, является усреднение результатов многократных измерений. Интуитивно ясно, что этот процесс приводит к повышению точности, поскольку результаты отдельных измерений имеют как положительные, так и отрицательные отклонения от точного значения и поэтому частично взаимно компенсируются. С ростом числа измерений среднее значение отрицательных отклонений приближается по модулю к среднему значению положительных отклонений и точность их взаимной компенсации улучшается. Для практики важно получить количественную зависимость между числом измерений и погрешностью усредненного результата.

Е

Рис. 4.4. Модуль ввода измеряет физическую величину х и выдает случайную величину X

сли на вход некоторого СИ (например, измерительный модуль аналогового ввода NL-8AI [НИЛ АП]) подано напряжение значения х (рис. 4.4), то результат измерения становится случайной величиной Х, значение которой изменяется от измерения к измерению. В общем случае это обусловлено тем, что на датчик, линию связи между датчиком и модулем и сам модуль действуют э-м помехи и собственные шумы ОУ, АЦП, резисторов, микропроцессорной части модуля и т.п. Случайная величина X может быть описана некоторой функцией распределения с математическим ожиданием М(Х) = т_Х среднеквадратическим отклонением σ_Х, которое принимается за случайную составляющую погрешности этого прибора. Дисперсия случайной величины D(X) = σ_Х²

Погрешность любого СИ определяется изготовителем и указывается в эксплуатационной документации. Величина погрешности содержит как систематическую, так и случайную составляющие. Если случайная составляющая превышает 10 % систематической, то она по ГОСТ 8.009 указывается отдельно. В некоторых случаях она указывается автокорреляционной функцией или спектральной плотностью мощности и может быть снижена усреднением результатов многократных измерений. Если в составе погрешности преобладает систематическая компонента, то усреднение не приводит к повышению точности. О наличии случайной составляющей можно судить по рассеянию результатов однократных измерений.

Если с помощью измерительного модуля выполнено N измерений, в результате которых получены значения х₁,х₂,..,х_N. , то результатом усреднения является среднее арифметическое отдельных показаний:

(4.32)

Общий усредненный результат будет иметь и меньшую дисперсию (среднеквадратическое отклонение), чем измерительный прибор, если результаты измерений х₁,х₂,..,х_N являются независимыми случайными величинами:

(4.33)

Итак, усреднение N некоррелированных измерений позволяет уменьшить погрешность результата в N^0.5 раз.

Это утверждение справедливо при соблюдении нескольких условий, выполнимость которых довольно трудно проверить на практике.

1.Усреднение дает эффект только для случайной составляющей погрешности. Погрешность измерений перестает уменьшаться, когда σ_СР становится настолько малой, что суммарная погрешность определяется систематической составляющей, которая складывается из нелинейности АЦП и ОУ, температурной зависимости напряжения смещения нуля и коэф-та передачи измерительного канала (температурно-зависимые погрешности учитываются как дополнительные), низкочастотных шумов, у которых время автокорреляции больше времени выполнения серии повторных измерений (к ним относится, в частности, старение элементов), динамической погрешности. Практически с помощью усреднения редко удается снизить общую погрешность измерений более чем в 2...3 раза.

2.Результаты измерений должны быть статистически независимы, т.е. интервал времени между соседними измерениями должен быть много больше времени автокорреляции случайной погрешности. Если при белом шуме (рис. хх4.5) средние значения за интервалы времени Δt₁ и Δt₂ равны между собой (внизу), то при коррелированном шуме - не равны (вверху). К примеру, усреднение 100 измерений в течение 10 с не может скомпенсировать компоненты шума, спектр которых лежит ниже 0.1Гц.

В частности, требование статистической независимости измерений не выполняется также в случае, когда действует искусственная помеха, делающая шум цветным (коррелированным), например помеха от сотового передатчика на крыше здания, от радиотелефона, из сети 50Гц, от сварочного аппарата, от молнии, от внутренних генераторов измерительного прибора, от электродрели и т.п. В этих случаях усреднение также ослабляет помеху, но менее, чем в N ^0.5 раз.

В отличие от погрешности, разрешающая способность не зависит от систематической погрешности и поэтому может быть увеличена существенно. Она может стать даже меньше величины МЗР АЦП, если стабильность его уровней позволяет это сделать. На этом эффекте основан принцип действия дельта-сигма АЦП.

Если в паспорте на СИ не указана случайная составляющая погрешности, то ее можно оценить по результатам измерений:

(4.34)

где М зависит от количества измерений N. При N > 60, М = 1, при N < 60 определяется по [8].

Повышение точности путем многократных измерений определяется ГОСТ 8.207-76.