3. Точечные и интервальные оценки погрешности

Погрешности ИК СА определяются 2-мя способами:

• точечные оценки (математическое ожидание погрешности и среднеквадратическое отклонение);

• интервальные оценки (интервал, охватывающий все возможные значения погрешности измерений с доверительной вероятностью Р).

Предел допускаемой погрешности можно рассматривать как точечную оценку или как интервальную для Р = 1.

Интервальная оценка является более гибкой, поскольку позволяет указать погрешность измерений в зависимости от требуемой вероятности реализации этой погрешности для конкретных условий эксплуатации СИ.

Смысл интервальной оценки погрешности иллюстрируется рис. 4.3.Функция распределения погрешностей:

Δ - погрешность измерения; р(Δ) - плотность распределения погрешностей Δ; Ф(Δ) - функция распределения погрешностей.

Рис. 4.3. Иллюстрация понятий доверительного интервала и доверительной вероятности

(4.27)

Д ля нормального закона распределения погрешностей (закона Гаусса) плотность распределения центрированной случайной величины Δ:

где σ - среднеквадратическая погрешность.

Если погрешность измерения Δ находится внутри интервала Δ₁ < Δ < Δ₂ то вероятность этого события:

(4.28)

В наиболее типичном случае симметричных границ (–Δ₀ < Δ < +Δ₀):

(4.29)

Таким образом, если задан интервал –Δ₀ < Δ < +Δ₀, содержащий погрешность измеряемого параметра Δ, то вероятность того, что погрешность Δ не выходит за границы интервала, можно найти по (4.28) для нормального закона распределения. Вероятность Р(–Δ₀ < Δ < +Δ₀,) называют также надежностью оценки погрешности и обозначают символом γ:

(4.30)

Для вычисления функции распределения удобно использовать пакеты MathCAD, MATLAB. С их помощью из (4.30) несложно найти величину доверительного интервала [–Δ₀ , +Δ₀], если задана величина надежности γ .

Для Δ₀ = σ доверительная вероятность γ = 68,3 %; для Δ₀ = 2σ, γ = 95,3 %; для Δ₀ = Зσ, γ = 99,7 % и для Δ₀ = 4σ, γ = 99,994 %.

Для увеличения надежности оценки погрешности измерений или для сужения доверительного интервала при заданной надежности можно использовать усреднение результатов многократных измерений. Поскольку оценка среднеквадратической погрешности результата усреднения , где (σ_Х - среднеквадратическая погрешность СИ, N - количество однократных измерений, то

(4.31)

Это соотношение позволяет найти количество однократных измерений N, которое необходимо усреднить для получения требуемого доверительного интервала [–Δ₀, +Δ₀] при заданной надежности γ или требуемой надежности γ при заданном доверительном интервале [–Δ₀, +Δ₀]. Поскольку указанные характеристики в (4.31) связаны в неявном виде, для их определения следует воспользоваться математическими пакетами для компьютерных вычислений.

Повышение точности путем усреднения результатов многократных измерений имеет множество ограничений (п.4.3).

Проблемой использования интервального метода оценки погрешности является необходимость знания закона распределения погрешностей.