Суммирование погрешностей измерений
Измерительные каналы СА могут содержать несколько СИ различных типов, например датчики, измерительные преобразователи, модули аналогового и частотного в-в. Погрешность такой системы желательно определять экспериментальным путем, однако это не всегда возможно или целесообразно. В таких случаях используют расчетный метод.
Исходные данные для расчета
Исходные данные для расчета погрешности ИК:
метрологические характеристики СИ;
погрешность метода измерений (методическая);
характеристики влияющих величин (например, температура окружающей среды, влажность);
характеристики измеряемого сигнала.
ГОСТ 8.009 для всех типов СИ устанавливает следующий комплекс метрологических характеристик, который указывается в эксплуатационной документации:
систематическая составляющая основной погрешности;
среднеквадратическое отклонение случайной составляющей основной погрешности;
дополнительная погрешность для каждой из влияющих величин;
динамическая погрешность.
Некоторые СИ обладают гистерезисом - для них, кроме перечисленных погрешностей, указывается случайная составляющая основной погрешности, вызванной гистерезисом.
Основная погрешность может быть указана без разделения ее на части (систематическую, случайную и погрешность от гистерезиса), и этот вариант является наиболее распространенным. Случайную составляющую указывают в случае, когда она больше 10 % от систематической.
Дополнительная погрешность указывается в виде функции влияния внешнего фактора на основную погрешность или ее составляющие: систематическую и случайную. Обычно эта функция является линейной зависимостью и тогда указывается только коэф-т влияния, например 0,05 %/°С.
Динамическая погрешность указывается одной из следующих характеристик: импульсная, переходная , АЧХ, ФЧХ, АФХ, ПФ.
Для минимально-фазовых цепей указывается только АЧХ, поскольку ФЧХ однозначно может быть получена из этой характеристики.
Для расчета методической погрешности могут быть указаны:
сопротивления проводов,
среднеквадратическое значение или спектральная плотность помех в них,
емкость, индуктивность и сопротивление источника сигнала,
другие факторы, возникающие при создании системы, включающей СИ и объект измерений.
Характеристики измеряемого сигнала задаются в виде функции от времени или функции спектральной плотности. Для случайного входного сигнала задается спектральная плотность мощности или автокорреляционная функция. Во многих случаях для оценки погрешности бывает достаточно знания скорости нарастания входного сигнала.
Методы суммирования погрешностей
Перед суммированием все погрешности делятся на следующие группы:
систематические
случайные:
коррелированные
некоррелированные;
аддитивные и мультипликативные;
основные и дополнительные.
Такое деление необходимо потому, что систематические и случайные погрешности, а также коррелированные и некоррелированные суммируются по разному, а аддитивные погрешности нельзя складывать с мультипликативными.
Если некоторые погрешности указаны в виде доверительных интервалов, то перед суммированием их нужно представить в виде среднеквадратических отклонений (п. 4.1.5).
Дополнительные погрешности могут складываться с основными либо перед суммированием погрешностей, либо на заключительном этапе, в зависимости от поставленной задачи. Второй вариант часто предпочтительнее, поскольку позволяет оценивать погрешность всего ИК в зависимости от величины внешних влияющих факторов в конкретных условиях эксплуатации.
При последовательном соединении нескольких СИ погрешности, проходя через ИК с ПФ (функцией преобразования) f(х), могут усиливаться или ослабляться. Для учета этого эффекта используют коэф-ты влияния, определяемые как df(x)/dx ≈ Кх. Все погрешности перед суммированием приводят к выходу (или входу) ИК путем умножения (деления) на коэф-т влияния. В дальнейшем преполагается, что такое приведение уже выполнено.
Погрешности СИ являются случайными величинами, поэтому при их суммировании в общем случае необходимо учитывать соответствующие законы распределения. На практике пользуются более грубыми упрощенными методами, разработанными математической статистикой.
Математическое ожидание погрешностей СИ, как правило, равно нулю. Если это не так, то его (в виде поправки) складывают с систематической составляющей погрешности. В СА введение поправки выполняется автоматически с помощью микроконтроллера, входящего в состав СИ. Математическое ожидание случайной составляющей всегда равно нулю, поскольку при нормировании метрологических характеристик его относят к систематической составляющей.
Наиболее полное определение итоговой погрешности ИК состояло бы в нахождении функции распределения суммы нескольких погрешностей измерения. Однако функция распределения суммы случайных величин находится с помощью операции свертки, что приводит к значительным практическим трудностям. Поэтому для оценки итоговой погрешности ограничиваются только суммированием дисперсий погрешностей.
Погрешности суммируют по однородным группам, затем находят общую погрешность, используя геометрическое суммирование для случайных погрешностей и алгебраическое для детерминированных.
Существует 3 способа суммирования погрешностей:
алгебраический:
(4.57)
где i - номер погрешности, N - их число
геометрический:
(4.58)
где σi - среднеквадратическое значение i-й погрешности;
с учетом корреляции:
(4.59)
Здесь во 2-м слагаемом: j ≠ i потому, что члены с j = i уже учтены в первой сумме, j < i для того, чтобы суммировать только члены, лежащие ниже диагонали корреляционной матрицы, поскольку вследствие ее симметричности Rijσiσj + Rjiσjσi = 2Rijσiσj. При Rij = +1 соотношение такое суммирование переходит в алгебраическое:
(4.60)
где σi складывается со своим знаком, т.е. коррелированные погрешности с противоположными знаками частично взаимно компенсируются, если их коэф-т корреляции равен единице.
При Rij = -1 погрешности вычитают попарно:
(4.61)
т.е. при отрицательной корреляции погрешности частично компенсируются, если они имеют один и тот же знак.
Учитывая, что получить удовлетворительные оценки коэф-тов корреляции практически довольно трудно, используют следующий прием: при | Rij | > 0,7 считают, что |Rij | = 1, при | Rij | < 0,7 полагают |Rij | = 0.