11. Математическое моделирование спроса и предложения

В соответствии с определением рынок с одним товаром представим в виде трех подсистем, см. рис.5.1:

производители в совокупности, определяющие рыночное предложение;

потребители, определяющие рыночный спрос;

третья связующая подсистема – товар.

Первая подсистема представлена Q производителями, вторая - L потребителями этого продукта: Q – число, q - индекс, а Q - множество индексов производителей (фирм), аналогично l - индекс, L - число, L - множество потребителей, L .

Поэтому при построении математической модели рынка необходимо знать:

• поведение (модель) каждого потребителя, в том числе с учетом функции спроса;

• модель каждого производителя с учетом функции предложения.

5.2.1. Модель поведения отдельного потребителя (спроса)

Спрос представляет собой общее количество товара, услуг, которые все потребители в совокупности хотят, и могут купить по его предложенным ценам и четко установленным условиям в течение определенного периода времени. [3, 53].

Функция спроса представляет совокупный (агрегированный) спрос всех потребителей, участвующих на рынке. Функцию спроса на товар "x" можно записать в следующем виде:

 =f(p_х, p_y, b_x, h_x). (5.2.1)

где  - количество приобретенного товара "x", p_х – цена на этот товар, p_y - цена взаимозаменяющего товара, b_x - доход (бюджетные ограничения), h_x - значение любой другой переменной, влияющей на спрос (ее могут быть затраты на рекламу, численность населения, качество продукции, транспортные расходы и другие потребительские ожидания).

Построим оптимизационную задачу, в которой учитывается индивидуальная целенаправленность каждого потребителя. Для этого рассмотрим наиболее простой вид функции спроса, в которой отсутствуют взаимозаменяющие товары (субституты) p_y, а факторы h_x остаются постоянными.

Обозначим: X(t)={x_ql(t), q= , l= } - вектор переменных, определяющий объемы продукта, купленные l-м потребителем у q-го производителя (фирмы), он по своей величине совпадает с вектором переменных, определяющего действия производителя.

На действия потребителя накладываются:

во-первых, бюджетные ограничения - b , lL - максимальный объем финансовых средств, которые он может выделить на покупку продукта от разных фирм,

во-вторых, ограничения, связанные с минимальной потребностью в данных изделиях x , lL или, что эквивалентно, b - минимальный объем финансовых средств, который потребитель выделяет на покупку продукта:

b  p_qx_ql(t) b , lL, (5.2.2)

где p_q - стоимость единицы товара, установленной q-й фирмой на рынке.

Вместо b в (5.2.2) можно использовать ограничение x_ql(t) x , lL.

При покупке продукта основополагающими действиями потребителя - "покупать - не покупать" является:

а) величина цены p_q, установленная q-м производителем - потребитель стремится выбрать тот товар, у которого p_q, qQ как можно меньше;

б) набор характеристик товара: качество, место расположения продажи, время доступа, реклама и т. п. - потребитель стремится выбрать тот товар, у которого эти характеристики наиболее приемлемы.

Цель любого потребителя купить необходимый объем товара по наиболее низкой цене с приемлемым набором характеристик. Эту целенаправленность сформулируем в виде задачи математического программирования:

lL, min f_l(X(t))= p x_ql(t), (5.2.3)

при ограничениях

b  p_qx_ql(t) b , x_ql(t)0, (5.2.4)

где f_l(X(t)) - целевая функция (критерий), p, x_ql, q= , lL - управляющие переменные, которые представлены в задаче произведением, а отсюда задача оптимизации (5.2.3)-(5.2.4) – не линейна, в ней потребитель минимизирует свои затраты, за счет стоимости; если в (5.2.3) стоимость p представлена постоянной величиной, то задача оптимизации (5.2.3)-(5.2.4) – линейна, в ней потребитель минимизирует свои затраты, за счет объема покупок;

(5.2.4) - ограничения по бюджетным (финансовым) возможностям l-го потребителя, а также ограничения, связанные с не отрицательностью переменных.

Задача (5.2.3)-(5.2.4) является моделью поведения любого lL потребителя на дискретный период tT.

Не надо!!!! Пример 5.1. (Линейная модель потребителя).

Дано: x₁, x₂ - объемы продукта, проданные потребителю первым и вторым производителем соответственно; p₁, p₂ - цены на продукт фиксированы, что позволяет рассматривать задачу (2.2.3)-(2.2.4) как линейную; b , b - минимальный и максимальный объем финансовых средств, которые могут выделить на покупку продукта от разных фирм потребитель; x - минимальный объем товара, которые потребляет от разных фирм потребитель.

На объем покупок оказывают влияние производственные возможности фирм: a₁, a₂ - затраты на производство продукта у обоих производителей;

b_q, q=1, 2, - финансовые возможности фирм при производстве продукта.

Построить оптимизационную модель спроса и объемы покупок у обоих производителей.

С учетом введенных обозначений математическая модель потребителя может быть представлена в виде задачи линейного программирования:

min f(X) = p₁x₁ + p₂x₂ , (5.2.5)

при ограничениях b ≤p₁x₁+p₂x₂≤b ,

a₁x₁≤b₁, a₂x₂≤b₂, x₁, x₂0. (5.2.6)

В числовом виде: p₁=p₂=500, a₁=a₂ =400, b =100000,

b =300000, x =100, a₁=a₂=400. b_q=500, q=1, 2.

min f(X) = 500x₁ + 500x₂ , (5.2.7)

при ограничениях 100000≤500x₁+500x₂≤300000,

400x₁≤150000, 400x₂≤150000, x₁, x₂  0. (5.2.8)

Для решения этой задачи линейного программирования используем симплексный алгоритм, представленный в системе Matlab (функция linprog(…)). В результате решения получим: X^*={x₁=100.0, x₂=100.0}, f^*=f(X^*)=100000.

Очевидный результат - минимальный уровень спроса определяется вторым ограничением R₂=500x₁ + 500x₂=100000.