• во-первых, критерии равнозначны ^o=₁(X^o)=₂(X^o)= ₃(X^o)=₄(X^o)= 0.607, т. е. в этой точке интересы (критерии) как производителей, так и потребителей учтены в равной мере;

• во-вторых, это равенство максимальное, т. е. не существует другой точки, в которой бы увеличение одного критерия не приводило бы к уменьшению другого, причем такая точка, только одна;

• В третьих, в терминах стоимостей финансовые затраты производителей и потребителей также равны между собой:

f_q(X)= (_q+a_ql)x_ql=f_l(X)= p_qx_ql,

т. е. агрегированный спрос равен агрегированному предложению.

Точка X^oo учитывает целенаправленность только производителей продукции, деятельность которых в относительных единицах представлена кривыми ₁(X) и ₂(X). На рис. 5.5 эти кривые проходят через точки: X2_max-X_оор21-X_оо-X_оор12-X1_max, а на рис. 5.6 они представлены функциями (отрезками) _2max-_o-_1max. Эти отрезки, как указывалось ранее, представляют собой модель Курно, Штакельберга, Бертрана и Эджуорта [3, 53] и отражают конкуренцию, которая возникает во взаимоотношениях только производителей (фирм).

Точка X^oo также является седловой, в ней:

критерии равнозначны ^o=₁(X^oo)=₂(X^oo)= 0.7764, т. е. в этой точке интересы (критерии) производителей учтены в равной мере;

это равенство максимальное, т. е. не существует другой точки, в которой бы увеличение одного критерия не приводило бы к уменьшению другого, причем такая точка только одна;

В терминах стоимостей финансовые затраты производителей и потребителей также равны между собой, т. Е. Выполняется выше приведенное равенство, но оно учитывает интересы только потребителей.

В реальной жизни необходимо учитывать не только деятельность производителей, но и их взаимоотношение с потребителями, что и показано кривыми на рис. 5.6. Эти кривые проходят через точки X2_max-X_oр21-X_о-X_oр12-X1_max, (на рис. 5.6 промежуточные точки не показаны). Эти кривые отражают конкуренцию, которая возникает во взаимоотношениях не только производителей друг с другом, но и производителей и потребителей друг с другом. И это отражается в балансе интересов производителей и потребителей, в цифровом виде это отражено равенством относительных оценок (относительно своих оптимумов).

Здесь возникает социальный аспект взаимоотношений между производителями и потребителями по вопросу распределения прибыли. Разность между относительными оценками в точках оптимума X^oo и X^o:

=(X^oo)-(X^o)=0.7764-0.607=0.167,

показывает объем прибыли, полученный производителями, за счет интересов (целей) потребителей.

В общем, то об этих недостатках моделей подобных Курно, говорилось и раннее, но не было математического аппарата, учитывающего влияние (целенаправленность) различных фирм. И только векторная оптимизация, в которой методы решения задач построены на принципе гарантированного результата и нормализации критериев, позволила решить эту проблему.

5.4.3. Построение модели рынка олигополии

Построение числовой модели олигополии, основные характеристики и параметры которой представлены выше, покажем на модели (5.4.6)-(5.4.10). Для олигополии характерно то, что стоимость продаж, затраты на производство продукции (производственно-экономические параметры) отличаются по величине. Эти требования отразим в математической модели рынка .

Дано. Введем обозначения, уточняющие модель (5.4.6)-(5.4.10):

c₁= c₂=50, c₃=c₄=60 - цены на продукт; a₁= a₂=40, a₃=a₄=50 - затраты;

p₁= ,…, =p₄= (c_j-a_j )=10 - прибыль от производства и продажи продукта;

b =3500, b =5000, l=1,2; b_q=5000, q=1,2.

Взаимосвязь спроса и предложения решена аналогично, как и для модели совершенной конкуренции, т. е. в модели (5.4.6)-(5.4.10) с предлагаемыми числовыми параметрами, предложение превышает спрос, хотя модель может быть использована и при других взаимоотношениях спроса и предложения.

Построить оптимизационную модель рынка и рассчитать объемы спроса-предложения.

Построение математической модели рынка. Модель рынка с двумя производителями и двумя потребителями (модель 2*2) введенными параметрами в виде векторной задачи линейного программирования представим следующим образом:

opt F(X)={max f₁(X) =10x₁ +10x₂, max f₂(X)= 10x₃+10x₄, (5.4.21)

min f₃ (X) = 50x₁ + 60x₃ , min f₄(X) = 50x₂+ 60x₄}, (5.4.22)

при ограничениях

3500 ≤ 50x₁+60x₃ ≤ 5000, 3500 ≤ 50x₂+60x₄ ≤ 5000, (5.4.23)

40x₁+ 40x₂ ≤ 5000, 50x₃+ 50x₄ ≤ 5000, (5.4.24)

x₁, x₂, x₃, x₄  0. (5.4.25)

Решение векторной задачи (5.4.21)-(5.4.25) на основе нормализации критериев и принципе гарантированного результата представим в виде последовательности шагов.

Шаг 1,2. Решаем задачу (5.4.21)-(5.4.25) по каждому критерию отдельно. Ищется наилучшее (X ), и наихудшее решение (X ), т.е. для kK₁=Q определяется максимум и минимум, а для kK₂=L ищется минимум и максимум соответственно. В результате решения получим:

Критерий 1. max: X ={x₁=62.5, x₂=62.5, x₃=31.25, x₄=31.25},

f₁(X ) =1250.0, f₂(X ) =625.0, f₃(X ) =5000.0, f₄(X ) = 5000.0,

min: X ={x₁= 20.0, x₂= 0.0, x₃= 41.667, x₄=58.33},

f₁(X )=200.0, f₂(X )=1000.0, f₃(X )=3500.0, f₄(X )=3500.0.

Критерий 2. max: X ={x₁=40.0, x₂= 40.0, x₃= 50.0, x₄= 50.0},

f₁(X )=800.0, f₂(X )=1000.0, f₃(X )=5000.0,f₄(X )=5000.0,

min: X ={x₁= 55.0, x₂=70.0, x₃= 12.5, x₄= 0.0},

f₁(X )=1250, f₂(X ) = 125, f₃(X ) = 3500, f₄(X ) =3500.

Критерий 3. min: X ={x₁=33.6, x₂=45.9, x₃=30.33, x₄= 45.1},

f₁(X )= 795, f₂(X ) = 754, f₃(X )=3500, f₄(X ) = 5000,

max: X ={x₁=45.902, x₂=45.902, x₃=45.082, x₄= 45.082}.

f₁(X ) = 918, f₂(X ) = 901.64, f₃(X ) = 5000, f₄(X ) =5000.

Критерий 4. min: X ={x₁=45.9, x₂=15.9, x₃=45.08, x₄=45.1}.

f₁(X )= 618, f₂(X )=901.64, f₃(X )=5000, f₄(X ) =3500.

max: X ={x₁= 45.9, x₂= 45.9, x₃=45.082, x₄= 45.082}.

f₁(X )= 918, f₂(X )= 901.64, f₃(X )=5000, f₄(X ) =5000.

Шаг 3. Выполняем стандартную нормализацию критериев и проводим анализ оптимальных результатов решения, полученных по каждому критерию:

f₁(X )= 1250.0 f₂(X )=621.5 f₃(X )=4989.6 f₄(X )=4989.6

f₁(X )=677.1 f₂(X )=1000.0 f₃(X )=4692.7 f₄(X )=4692.7

f₁(X )=808.1 f₂(X )=688.8 f₃(X )=3500.0 f₄(X )=4673.0

f₁(X )=808.1 f₂(X )=688.8 f₃(X )=4673.0 f₄(X )=3500.0

₁(X )=1.0, ₂(X )=0.5675, ₃(X )=0.0, ₄(X )=0.0,

₁(X )=0.4543, ₂(X )=1.0, ₃(X )=0.2, ₄(X )=0.2,

₁(X )=0.579, ₂(X )=0.644, ₃(X )=1.0, ₄(X )=0.2,

₁(X )=0.579, ₂(X )=0.644, ₃(X )=0.2, ₄(X )=1.0.

Шаг 4. Построение и решение -задачи. Она примет вид:

^o = max , (5.4.26)

при ограничениях

 - (p₁x₁ + p₂x₂ - f₁(X ))/(f₁(X )-f₁(X ))  0, (5.4.27)

 - (p₃x₃ + p₄x₄ - f₂(X ))/(f₂(X )-f₂(X ))  0,

 - (c₁x₁ + c₃x₃ - f₃(X ))/(f₃(X )-f₃(X ))  0,

 - (c₂x₂ + c₄x₄ - f₄(X ))/(f₄(X )-f₄(X ))  0, (5.4.28)

3500 ≤ c₁x₁+ c₃x₃ ≤ 5000, 3500 ≤ c₂x₂+c₄x₄ ≤ 5000, (5.4.29)

a₁x₁+a₂x₂ ≤5000, a₃x₃+a₄x₄ ≤ 5000, x₁, x₂, x₃, x₄  0. (5.4.30)

Решение -задачи.

В результате решения -задачи получаем точку оптимума X^o, f_k(X^o), k= и максимальную относительную оценку ^o:

^o = 0.61112, X^o ={x₁=42.1, x₂= 42.085, x₃=32.986, x₄= 32.98}. f₁(X^o) = 841.6, f₂(X^o) =659.7, f₃(X^o) = 4083.3, f₄(X^o) = 4083.3,

₁(X^o)=0.61112, ₂(X⁰)=0.61112, ₃(X^o)=0.61112, ₁(X^o) =0.61112,

т. е. выполняются условия ^o ≤ _q(X^o), q=1,2,3,4. Любое улучшение (увеличение) одного из них приводит к ухудшению другого.