13.2.3. Агрегирование информации модели: регион - отрасли.

Математические модели, описывающие функционирование отраслей и региона в из взаимосвязи, предназначены, прежде всего, для изучения общих тенденций развития экономики региона, закономерностей его расширенного воспроизводства, роста его национального дохода, исследования межотраслевых пропорций и влияния отраслей друг на друга при их динамическом развитии.

При рассмотрении следующего уровня в ВЗЛП (13.1.1)-(13.1.9) выделяем двухуровневую экономическую систему, высшей управляющей подсистемой которой является орган, моделирующий экономическую деятельность региона и o= локальных подсистем, моделирующих деятельность отраслей региона. Модель регион - отрасли (13.1.1)-(13.1.9) с учетом моделей (13.2.18)-(13.2.22) представим в агрегированном виде:

opt F_r(X_r(t))  opt F_r(Y_r(t))={opt F1_r(Y_r(t))=

{f_ko(Y_o(t))= (c^o_kп+c_kn y_п(t)), к= _o, o= _r}, (13.2.27)

opt F2_r(Y_r(t))={f_к(Y_r(t)) = f_ко(Y_o(t)), к= _r, K_r= K_o }}, (13.2.28)

(a^o_in+a_in y_n(t))  b_i , iM, (13.2.29)

(a^o_in + a_in y_n(t) )  R_i, iM, (13.2.30)

y_n^o(t)  y_n(t) y_n*(t), п= _o, o= _r, rR, (13.2.31)

В данной модели в качестве переменной взят вектор Y_r(t) ={Y_о(t)= {y_n(t), п= _o}, o= _r} rR - определяющий агрегированные объемы продукции, выпускаемой регионом и его отраслями.

Соотношение opt F_r(X_r(t))opt F_r(Y_r(t)) показывает эквивалентность векторного критерия (13.1.1), имеющего переменную X_r(t) размерностью N_n*П_o*O_r, rR и агрегированного векторного критерия F_r(Y_r(t)), полученного из объединения (13.2.19) с переменной Y_r(t) размерностью 1*П _o*O_r, rR;

агрегированный векторный критерий F_r(Y_r(t)) состоит из двух подмножеств: первое (13.2.27) представляет цель каждой отрасли и определяется множеством критериев

f_ко(Y_o(t))= c^к_пf_кп(y_п(t)), к= _o, K_o= K_п, o= _r, (13.2.32)

которые функционально взаимно связаны с объемами продукции, выпускаемых своими предприятиями, а в соответствии с агрегацией проведенной в предыдущем разделе в каждый из них входит лишь п= _o переменных, т.е. равно количеству предприятий, входящих в отрасль;

второе F2_r(Y_r(t))={ f_ко(Y_o(t)), к= _r, K_r= K_o } - векторный критерий региона, каждая компонента которого представляет сумму отдельных критериев отраслей, обладающих свойствами аддитивности.

Деятельность региона ограничена имеющимися у него ресурсами (бюджет, дефицитные ресурсы) - (13.2.29)-(13.2.31):

(13.2.29) - агрегированные ограничения по ресурсам, они эквивалентны ограничениям (13.1.4) и составлены суммированием (13.2.20);

(13.2.30) - затраты по ресурсам, которые определяют отраслевые затраты на управленческую деятельность, они эквивалентны ограничениям (13.1.6) и составлены суммированием (13.2.21);

для агрегированного вектора переменных представленного соотношениями (13.2.31) эквивалентными являются (13.1.9).

Построение агрегированной модели отрасли.

Цель отрасли состоит в определении вектора Y_о(t)= {y_n(t), п= _o, oO, который оптимизировал свою компоненту критерия (13.2.27), при этом каждая отрасль стремится получить как можно больше ресурсов региона, тем самым осуществляется межотраслевая конкуренция.

При построении агрегированной модели отрасли предполагается, что выполнены основные условия агрегации (см. раздел 5.6). В качестве ведущего критерия и соответственно переменной z_o, oO примем совокупный конечный продукт отрасли, определяемый суммарным агрегированным продуктом всех предприятий входящих в отрасль:

z_o= (c^o_kп+c_kn y_п(t), oO. (13.2.33)

При решении ВЗЛП (13.2.27)-(13.2.31) легко вычислить, что агрегированная переменная z_o, oO лежит в пределах

0  z_o  z_o*, oO.

Тогда, опуская шаги 2-5 и используя ограничение по агрегированному продукту каждой отрасли, построим модель отрасли в виде ВЗЛП:

opt F_o(X_o(t))  opt F_o(Y_o(t)  opt F_o(Z_o(t))={

opt F1_vo(Z_o(t))={z_o(t), vK_o}, (13.2.34)

opt F2_ko(Z_o(t))={(c_ko z_o(t)), к= _o}}, (13.2.35)

a_io z_o(t)  b_i , iM, (13.2.36)

a_io z_o(t) = R_i, iM_o, (13.2.37)

0  z_o(t)  z_o*(t), oO, (13.2.38)

где соотношение opt F_o(X_o(t))opt F_o(Y_o(t)opt F_o(Z_o(t)) показывает двойную эквивалентность (двойную агрегацию) векторного критерия отрасли (13.2.1), имеющего переменную X_o(t) размерностью N_n*П_o, oO, агрегированного векторного критерия F_o(Y_o(t)), с переменной Y_o(t) размерностью 1*П _o, oO, рассмотренного в модели (13.2.18)-(13.2.22) и агрегированного векторного критерия F_o(Z_o(t)), с переменнуой Z_o(t) размерностью 1;

агрегированный векторный критерий F_o(Z_o(t)) состоит из двух подмножеств - первое (13.2.34) представлено одной компонентой vK_o, являющейся агрегированным ведущим критерием отрасли, - второе представлено F2_ko(Z_o(t))- векторным критерием, количество компонент которого определено остальными компонентами множества K_o, oO;

ограничениям (13.2.20) эквивалентен их агрегированный вариант (13.2.36), а для ограничений (13.2.21) эквивалентен вариант (13.2.37);

для вектора переменных представленного соотношениями (13.2.22) эквивалентен агрегированный вектор (13.2.38).

Переменную z_o(t), oO можно трактовать как агрегированный совокупный продукт отрасли, каждая единица которого приносит один рубль дохода, полученного в период tT.

Для любого фиксированного tT вектор-столбец (13.2.34)-(13.2.38) представляет планируемую информационную модель отрасли, аналогично (13.2.26).

Построение агрегированной модели региона.

Введем некоторые обозначения, которые обычно используются в межотраслевом балансе:

x_ij(t) - объемы продукции (агрегированной) i-ой отрасли, затраченные в j-ой. Используя (13.2.37), x_ij(t) можно представить:

x_ij(t) = a_io z_o(t), i= , oO. (13.2.39)

где a_io - коэффициенты прямых затрат, определяющие, какое количество продукта i-ой отрасли необходимо истратить на производство единица продукции о-ой отрасли.

Переобозначим совокупный продукт i-ой отрасли x_i(t), i= . Тогда, суммируя все агрегированные затраты продукции этой отрасли (13.2.39) по всем отраслям, получим совокупный продукт i-ой отрасли.

x_i(t)= x_ij(t)+y_i(t), iO,

где y_i - конечный продукт i-ой отрасли. Подставляя (13.2.39) получим:

x_i(t)= a_ij x_i(t) +y_i(t), iO. (13.2.40)

Такие i= , уравнений определяют межотраслевой баланс региона в агрегированном виде.

В качестве ведущего критерия и соответственно переменной примем конечный агрегированный продукт отрасли, который может быть вычислен из (13.2.40), и обозначим его индексом oO: y_o(t)=x_o(t)- a_jo x_o(t), oO.

Используя полученное соотношения для всех отраслей региона o= _r, rR, агрегированную модель отрасли (13.2.34)-(13.2.38), и вычисления, полученные на шаге 2-5, преобразуем модель системы регион - отрасли (13.2.27)- (13.2.31) в агрегированную модель:

opt F_r(X_r(t))  opt F_r(Y_r(t))  opt F_r(Z_r(t))  opt F_r(Y_r(t)=

{opt F1_r(Y_r(t))={f_o(Y_o(t))= y_o(t)), o= _r }, (13.2.41)

{opt F2_r(Y_r(t))={f_к(Y_r(t))= f_ко(Y_o(t)), к= _r, K_r= K_o}}, (13.2.42)

y_o (t)= x_o(t)- a_io x_o(t), o= _r, (13.2.43)

(a_io x_o(t))  b_i, iM, M=M_TM_F, (13.2.44)

x_o(t)  u_o(t), o= _r, rR, (13.2.45)

где соотношение opt F_r(X_r(t))  opt F_r(Y_r(t))  opt F_r(Z_r(t)) показывает двойную эквивалентность (двойную агрегацию) векторного критерия региона (13.2.27), имеющего переменную X_r(t) размерностью N_n*П_o*O_r, rR, агрегированного векторного критерия F_r(Y_r(t)), имеющего переменную Y_r(t) размерностью 1*П_o*O_r, oO, рассмотренного в модели (13.2.27)-(13.2.31) и агрегированного векторного критерия F_r(Z_r(t)), имеющего переменную Z_r(t) размерностью 1*O_r , т.е. равно количеству отраслей в регионе;

соотношение opt F_r(Z_r(t))opt F_r(Y_r(t)) показывает переобозначение переменных Z_r(t) в Y_r(t) с учетом (13.2.40);

агрегированный векторный критерий F_r(Y_r(t)) состоит из двух подмножеств - первое (13.2.41) представлено одной компонентой vK_o, являющейся агрегированным ведущим критерием отрасли и определяет конечный продукт, получаемый каждой отраслью региона, - второе F2_r(Y_r(t)) - векторный региональный критерий, каждая компонента которого представляет сумму отдельных критериев отраслей, обладающих свойствами аддитивности, и характеризует технико-экономические показатели региона;

(13.2.43) - агрегированные ограничения, связанные с прямыми затратами i-ой отрасли в o-ой i,oO, они эквивалентны ограничениям (13.2.4) и составлены из (13.2.40); (13.2.44) - ограничения, определяемые трудовыми ресурсами и производственными фондами отраслей, они эквивалентны ограничениям (13.2.5) и составлены суммированием (13.2.37);

для вектора переменных представленного соотношениями (13.2.45) эквивалентным является агрегированный вектор (13.2.31).

Прежде чем приступить к анализу агрегированной модели (13.2.41)-(13.2.45), заметим, что максимизируемый конечный продукт (13.2.41) представляет собой составляющие: y_o^потр, o= - продукция на цели личного и общественного потребления; y_o^ф, o= - накопление основных и оборотных фондов; y_o^э, o= - экспорт; y_o^ост, o= - возмещение основных производственных фондов, государственных резервов и т. д. поэтому решая ВЗЛП модели (13.2.41)-(13.2.45) для каждого из перечисленных показателей (критериев), можем получить пределы их роста (0 y_o  y_o*, o= ), и условия, когда критерии равнозначны.

В результате решение задачи (13.2.41)-(13.2.45) на планируемый год tT получим: точку оптимума Y_r^o(t)={y_o^o(t), o= _r} и максимальную относительную оценку ^o(t), такую, что

^o(t)=_o(y_o^o(t)), o= _r, (13.2.46)

для критерия (13.2.41), т. к. критерии (отрасли) независимы, и

^o(t)  _k (y_o^o(t)), k= _r, (13.2.47)

для критерия (13.2.42), т.е. ^o(t) является максимальным нижним уровнем для всех относительных оценок _k(X(t)), k= или гарантированным результатом в относительных единицах, а в соответствии с теоремой 3, точка {Y^o , ^o } оптимальна по Парето.

Полученная точка оптимума Y_o^o(t)={y_n^o(t), п= _o} определяет агрегированный конечный вид продукции, выпускаемый каждой отраслью, технико-экономические показатели региона, включенные в план, и соответствующие межотраслевые затраты x_ij(t)= a_ij x_i(t), iO .

Подставляя значения y_o^o(t ), oO_r в критерии (13.2.41) и ограничения (13.2.43) в отраслевом разрезе получим информационную модель отрасли на планируемый год tT:

I^o(t)={ y_o^o(t), f_k(y_o^o(t))= c_o^k y_o^o(t), k= _r, K_r= K_o,

G_i(y_o^o(t)), i= _o, o= , i= _tr, i= _f}, oO. (13.2.48)

Полученная модель эквивалентна ИМ (13.2.26), но в качестве переменной здесь используется конечный продукт отрасли.

Объединяя все ИМ отраслей на планируемый год tT получим агрегированную ИМ региона:

I^r(t)={ Y_r^o(t)={y_o^o(t), o= _r}, f_k(Y_r^o(t))= c_o^k y_o^o(t), k= _o ,

G_i(Y_o^o(t)), i= _o, o= , i= _tr, i= _f}, rR. (13.2.49)

Полученные ИМ могут быть использованы в модели следующего уровня государство-регион.

При решении ВЗЛП (13.2.41)- (13.2.45) на период tT лет получим развитие региона в динамике в виде набора ИМ на каждый период планирования.