5.2.4. Моделирование поведения отдельного производителя с учетом статистической функции предложения

Для построения модели поведения отдельного производителя на какой-либо период с учетом статистических данных используем результаты эконометрического анализа функции предложения q-го производителя. Рассмотрим линейную функцию предложения [3]:

 = _o' + _xp_х +_wp_w +_rp_r +_hh_x, (5.2.25)

где  (s - supply - предложение) - количество требуемого товара X, p_х - цена этого товара , p_w - цена исходных ресурсов, необходимых для производства (например, цена на сырьё, заработную плату основных производственных рабочих и т. д.), p_r - цена технологически однородных товаров, h_x - значение любой другой переменной, влияющей на предложение товара на рынке, (например, доступность технологий, число конкурентов на рынке, размер налогов или ожидания производителей);

_o', _x, _w, _r, _h – это фиксированные коэффициенты, величины которых могут быть получены на основе исследования статистических данных реализации товара, используя регрессионный анализ.

Преобразуем это выражение, предполагая, что факторы с_w, p_r, h_x не изменяются, а  = x_ql(t), qQ, в итоге из (5.2.25) получим:

x_ql(t)=_o''+_xp_х , qQ,

где _o''=_o' +_wp_w +_rp_r +_hh_x.

Вычислим из этого выражения цену товара:

p_х = _o + _l x_ql(t), qQ,

где _o=(_o' +_wp_w +_rp_r +_hh_x)/_x, _l =1/_x.

Перенесем в этом уравнении все (L+1) переменные в левую часть и приведем равенство к стандартному виду:

p - a_l x_ql(t)=b^s , qQ, (5.2.26)

где p =p_х, a_l=_l, b^s= _o.

Цель любого производителя продать как можно больше товара по наиболее возможно высокой цене, с тем, чтобы получить, возможно, высокую прибыль. Эту целенаправленность можно представить в виде задачи математического программирования (ЗМП):

qQ max f_q(X(t))= _qx_ql(t), (5.2.27)

при ограничениях

p - a_l x_ql(t)=b^s , (5.2.28)

a_qx_ql(t) b_q, a_q p  p^max, x_ql(t)0. (5.2.29)

где f_q(X(t)) - целевая функция (критерий), управляющие переменные _q= p_q - a_q и x_ql, qQ представлены в задаче произведением, а отсюда задача оптимизации (5.2.27)-(5.2.29) – не линейна, в ней производитель максимизирует свои прибыли за счет изменения стоимости; (5.2.28) - ограничения по предложению на данном рынке (функция предложения); (5.2.29) - ограничения по ресурсным возможностям q-го производителя.

Задача (5.2.27)-(5.2.29) является моделью поведения любого qQ производителя на дискретный период tT.

Методологию построения модели и моделирования покажем на примере решения оптимизационной задачи (5.2.27)-(5.2.29).

Пример 7.3. (Нелинейная модель производителя с функцией предложения).

Дано. Статистические данные о цене и производстве (с последующей продажей) телевизоров. Они получены путем опроса десяти производителей телевизионных приемников на предмет объема производства при заданной цене. Объем производства приемников будем считать величиной переменной, а цену – исходной. Вид статистических данных представлен в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Статистические данные о цене и количестве произведенных телевизоров

Наблюдение	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Количество (Var 1)	580	560	520	500	480	460	450	440	400	350
Цена (Var 2)	730	560	600	350	590	280	380	400	200	250

Рассматривается две фирмы, выпускающие один продукт. Обозначим: x₁, x₂ – вектор переменных, характеризующий объемы продукции, произведенные первым и вторым производителем соответственно. На объем производства и соответственно продажи оказывают влияние производственные возможности фирм: a₁, a₂ - затраты на производство продукта у обоих производителей; b_q, q=1, 2, - финансовые возможности фирм при производстве продукта; b , b - минимальный и максимальный объем финансовых средств, которые могут выделить на покупку продукта от разных фирм потребитель; x - минимальный объем товара, которые потребляет от разных фирм потребитель.

Примем: a₁=a₂=400, b₁=b₂=150000, b =100000, b =300000.

Требуется провести регрессионный анализ статистических данных, т. е. построить линию регрессии и определить статистические параметры регрессии, построить функцию предложения, оптимизационную модель предложения с использованием этой функции и рассчитать оптимальную цену и объемы производства обоих производителей.

Решение проведем в три этапа: используя, статистические данные табл. 5.2. построим функцию предложения, на ее основе построим оптимизационную модель, которая ее учитывает, и проведем расчет оптимальной цены и объемов производства.

Построим функцию предложения, для чего проведем регрессионный анализ статистических данных табл. 5.2. Введем статистические данные табл. 5.2 в электронные таблицы программы Statistica (Система программного обеспечения анализа данных) [8] и поведем расчет. В результате расчета получим: средние значения цены и реализуемого товара, а также данные регрессионного анализа.

Таким образом, линейной функцией предложения на телевизоры, при которой минимизируется квадрат погрешностей между множеством фактических точек и линией, произведенной через это множество, является уравнение:

 = -566,07 + 2,11p_х. (5.2.30)

Это уравнение и соответствующие параметры регрессионного анализа показаны на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Функция предложения и параметры регрессионного анализа

Построим оптимизационную задачу с учетом функции предложения.

Функция предложения представлена уравнением:  = -566,07 + 2.11p_х, которое приведем к виду:

x₁ + x₂ - 2.11p= -566.07, (5.2.31)

где p=p_х определяет величину рыночной стоимости на товар – телевизоры, при совокупном объеме производства:  = x₁ + x₂ .

Используя (5.2.31) построим задачу нелинейного программирования:

max f(X) = (p-400)x₁ + (p-400)x₂ , (5.2.32)

при ограничениях x₁ + x₂ - 2.11p = -566.07 , (5.2.33)

100000≤px₁ + px₂ ≤ 300000, (5.2.34)

400x₁≤150000, 400x₂≤150000, x₁, x₂, с  0, (5.2.35)

где X={x₁, x₂, p} – вектор неизвестных, определяющий конструктивные параметры рыночного предложения индивидуального производителя.

Решим задачи нелинейного программирования (5.2.32)-(5.2.35), используя алгоритм, представленный в системе Matlab (функция fmincon(…)) [39]. В результате решения получим: X^*={x₁=357.8, x₂=203.6, p=534.4}, f^*=75431.

Максимальный уровень производства фирмы определяется кривой предложения:

x₁ + x₂ -2.11p = 357.7785+ 203.6442 -2.11*534.3567=-566.07.

Результаты:  = x₁ + x₂ =561.4 и p=534.4 представляют координаты точки функции спроса на рис. 5.3.

Если решать задачу минимизации - min f(X), то в результате решения получим: X^*={x₁=128.25, x₂=128.25, p=389.8483}, f^*=2604.0, при этом x₁ + x₂ -2.11p = 128.25+ 128.25+2.11*389.85=-566.07, т. е. результат также удовлетворяет кривой предложения.

Таким образом, в рассмотренной оптимизационной модели индивидуального производителя (5.2.32)-(5.2.35) полученный результат учитывает, с одной стороны, мощности производителя, а с другой соответствие функции предложения.