5.2.2. Моделирование поведения отдельного потребителя с учетом статистической функции спроса

Для моделирования поведения отдельного потребителя с учетом статистической функции спроса используем результаты эконометрического анализа функции спроса в модели поведения lL потребителя. Рассмотрим для простоты рассуждений линейную функцию спроса (5.2.1):

 = _o' + _xp_х +_yp_y + _bb_x +_hh_x,

преобразуем это выражение, предполагая, что факторы p_y, b_x, h_x не изменяются, а  = x_ql(t), lL, в итоге получим:

p_х = _o + _q x_ql(t), lL, (5.2.9)

где _o = (_o' +_yс_y + _bb_x +_hh_x)/_x, _q =1/_x. Перенесем все (Q+1) переменные в левую часть и приведем равенство к стандартному виду:

p - a_qx_ql(t)=b^d , lL, (5.2.10)

где p =p_х, a_q=_q, b^d= _o. С учетом (5.2.10) задача (5.2.3)-(5.2.4) примет вид:

lL, min f_l(X(t))= p x_ql(t), (5.2.11)

при ограничениях

p - a_qx_ql(t)= b^d, (5.2.12)

b  p_qx_ql(t) b , x_ql(t)0, (5.2.13)

где f_l(X(t)) - целевая функция (критерий), p, x_ql, q= , lL - управляющие переменные, которые представлены в задаче произведением, а отсюда задача векторной оптимизации (5.2.11)-(5.2.13) – не линейна, в ней потребитель минимизирует свои затраты, за счет стоимости;

(5.2.12) - ограничения по спросу на данном рынке (функция спроса);

(5.2.13) - ограничения по бюджетным (финансовым) возможностям l-го потребителя и не отрицательным переменным.

Задача (5.2.11)-(5.2.13) является моделью поведения любого lL потребителя, учитывающая функции спроса-предложения, на дискретный период tT.

Методологию построения модели моделирования на ее основе, покажем на небольшом числовом примере, хотя модель (5.2.11)-(5.2.13) и методы позволяют решать и более объемные задачи.

Пример 5.2. (Нелинейная модель потребителя с учетом функции спроса).

Дано. У производителя телевизионных приемников имеются данные о цене и количестве проданных телевизоров за последний месяц в десяти точках розничной торговли города. Объем продаж будем считать переменной, а цену – исходной. Статистические данные о продажах представлены в табл. 5.1. [3]².

Таблица 5.1

Статистические данные о цене и количестве проданных телевизоров

Наблюдение	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Количество (Var 1)	180	590	430	250	275	720	660	490	700	210
Цена (Var 2)	475	400	450	550	575	375	375	450	400	500

Экономические показатели производителей и потребителей продукции представлены в примере 5.1 и построенной на их основе задачи линейного программирования (5.2.5)-(5.2.6).

Построить оптимизационную модель спроса и рассчитать оптимальную цену и объемы покупок у обоих производителей.

Решение проведем в три этапа: построение функции спроса, используя статистические данные табл. 5.1.; построение модели спроса на ее основе и расчет оптимальной цены и объемов покупок.

Построение функции спроса базируется на использовании регрессионного анализа статистических данных табл. 5.1. Построим линию регрессии и определим статистические параметры регрессии.

Введем статистические данные табл. 5.1 в электронные таблицы программы Statistica (Система программного обеспечения анализа данных) [8] и поведем расчет. В результате расчета получим: средние значения цены и реализуемого товара, а также данные регрессионного анализа. Таким образом, функцией линейного спроса на телевизоры, при которой минимизируется квадрат погрешностей между множеством фактических точек и линией, произведенной через это множество, является уравнение:

 = 1631,47 – 2,60p_х. (5.2.14)

где  - количество купленных изделий (шт.), p_х – стоимость одного изделия.

Это уравнение и соответствующие параметры регрессионного анализа показаны на рис. 5.2.

На этом рис. представлен заголовок, предназначенный для идентификации выдаваемой информации, далее следуют данные о количестве наблюдений и переменных, введенных в программу. Ниже следуют имена переменных, средние значения и стандартные отклонения. Далее показаны параметры a и b в оценочном уравнении регрессии _i=a - bX_i. Остальные параметры регрессионного анализа представим ниже.

Рис. 5.2. Функция спроса и параметры регрессионного анализа

Построим оптимизационную задачу (5.2.10)-(5.2.13) с учетом функции рыночного спроса (5.2.14), которая получится путем ее преобразования к виду: x₁ + x₂ = 1631.47 – 2.60p, где p=p_х определяет величину рыночной стоимости на товар – телевизоры, при объеме спроса:  = x₁ + x₂ .

В итоге получили задачу нелинейного программирования:

min f(X) = px₁ + px₂ , (5.2.15)

при ограничениях x₁ + x₂ + 2.6p = 1631.47, (5.2.16)

100000≤px₁ + px₂ ≤ 300000, (5.2.17)

400x₁≤150000, 400x₂≤150000, (5.2.18)

x₁, x₂, p  0, (5.2.19)

где X={x₁, x₂, p} – вектор неизвестных, определяющий конструктивные параметры рыночного спроса индивидуального потребителя.

Решим задачу нелинейного программирования (5.2.15)-(5.2.19), используя алгоритм решения из системы Matlab [18], представленный функцией fmincon(…) в виде:

[x1min,f1min]=fmincon('Krit',Xo,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'NonLinConst',options), где входные параметры:

'Krit' – наименование подпрограммы, в которой на языке "Фортран" представлен нелинейный критерий;

Xo – начальная точка для оптимизации;

A, b – матрица и вектор линейных ограничений типа неравенств;

Aeq, beq – матрица и вектор линейных ограничений типа равенств;

lb, ub – нижняя и верхняя граница, накладываемая на переменные;

'NonLinConst' – наименование подпрограммы, в которой на языке "Фортран" представлен нелинейные ограничения;

options –опция, указывающая на оператор следующего вида: options=optimset(options,'GradObj','on','GradConst','on'), где 'GradObj' и 'GradConst' - наименование подпрограмм, в которых на языке "Фортран" представлены градиенты нелинейных критерия и ограничения;

выходные параметры: x1min – точка оптимума, f1min – величина целевой функции в точке оптимума.

В результате решения задачи получим:

X^*= x1min={x₁=31.1, x₂=147.9, p=558.64}, f^*=f1min=100000.

Минимальный уровень спроса определяется, во-первых, объемом бюджетных средств, которые представлены вторым ограничением R₂=px₁+px₂=100000, во-вторых, кривой спроса:

2.6p +x₁ + x₂ = 2.6*558.6+31.1+149.1=1631.47.

Результаты: c=558.6 и  =x₁+x₂=180.2 представляют координаты точки функции спроса на рис. 7.2.

Таким образом, в рассмотренной оптимизационной модели индивидуального потребителя (5.2.15)-(5.2.19) полученный результат учитывает, с одной стороны, бюджет потребителя, а с другой соответствует функции спроса.