5.5. Моделирование развития рыночной отрасли региона (на примере сельского хозяйства)

14. Построение модели отрасли

Математическую модель одно - продуктового рынка (5.4.1)-(5.4.5) можно рассматривать как модель отрасли:

opt F(X(t))= {F₁(X(t))={max f_q(X(t))= _qx_ql(t), q= }, (5.5.1)

F₂(X(t))={min f_l(X(t))= p_qx_ql(t), l= }}, (5.5.2)

{F₃(X(t))={max f_{ q}(X(t))= _qx_ql(t), (5.5.3)

min f_{ l}(X(t))= p_qx_ql(t), l= }}, (5.5.4)

b  p_qx_ql(t)  b (t)+Δb ( t+Δt), l= , (5.5.5)

a_qx_ql(t) b_q(t)+Δb_q(t+Δt), q= , (5.5.6)

p  p_q  p , (5.5.7)

x_ql(t)  0, q= , l= , (5.5.8)

где F(X(t)) - векторный критерий, в котором K=QL2 - множество критериев - производителей Q , потребителей L и два системных критерия (5.5.3)-(5.5.4), характеризующих отрасль в целом;

в (5.5.1) F₁(X(t)) - векторный критерий Q производителей, которые максимизируют прибыль от производства и продажи отдельного вида товаров;

в (5.5.2) F₂(X(t)) - векторный критерий L потребителей, которые минимизируют свои затраты, за счет стоимости на покупаемую продукцию;

x_ql, q= , l= - управляющие переменные представляющие объем производства и последующих продаж;

_q =p_q - a_q, q= - прибыль производителей, определяющаяся разностью между ценой продажи p_q и затратами a_q;

(5.5.5) - ограничения по бюджетным (финансовым) возможностям L потребителей , Δb ( t+Δt) прирост бюджетных возможностей у потребителей на очередной плановый период;

(5.5.6) - ограничения по производственным мощностям Q производителей, Δb_q( t+Δt) прирост инвестиций в производство q-го предприятия отрасли на период Δt;

(5.5.7) - ограничения, определяющие пределы изменения стоимости единицы товара, установленные на рынке, если p = p , то задача (5.5.1)-(5.5.8) линейная, иначе нелинейная;

(5.5.8) - ограничения, связанные с не отрицательностью объемов произведенной и проданной продукции.

Задача (5.5.1)-(5.5.8) представляет модель отраслевого рынка на дискретный период tT.

Для решения векторной задачи математического программирования (5.5.1)-(5.5.8) используются методы, основанные на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, которые дают возможность решать задачи при равнозначных критериях и заданном приоритете критерия, представленные в девятой главе.

Конец

5.5.2. Построение и моделирование отрасли (на основе численной модели сельского хозяйства)

Рассматривается сельско –хозяйственная отрасль, включающая четыре предприятия, выпускающих два вида продукции. Экономические показатели производства представлены в табл. 5.3.

Таблица 5.3.

Экономические показатели отрасли сельского хозяйства

№	Объём продукции, тыс. кг.	Производитель	Продукция (1 кг.)
			Стоимость руб.	Затраты руб.	Прибыль руб.
1 2	Соевое масло х1 Измельченная соя х2	«ОАО ДАК»	60 50	35 25	25 25
3 4	Гречневая крупа х3 Гречневая крупа быстрого приготовления х4	«ООО МЕГАДВ»	70 50	40 25	30 25
4 6	Рис длиннозерный х5 Рисовая мука х6	«ООО МИКС»	65 75	42 45	23 30
7 8	Картофель х7 Картофель для микроволновой печи х8	«ООО ПримАГРО»	35 40	15 24	20 16

На основе маркетинговых исследование условно выделили 4 группы потребителей: пенсионеры, студенты, дети, работающее население. Каждая группа потребляет два вида продуктов – (1, 5), вторая –(2,6), третья – (3, 7), четвертая – (4,8).

Связь спроса и предложения решена следующим образом.

Спрос определяется: максимальной суммой, которую могут выделить четыре группы потребителей в тыс. руб. на свои покупки b =14000, b =19000, b =16500, b =19000; минимальной суммой, которая необходима для наименьшего потребления своего продукта b =8000, b =11000, b =11000, b =12000.

Предложение определяется тем, какой объем финансовых средств в тыс. руб. фирма может выделить для изготовления своей продукции b₁=14000, b₂=19000, b₃=16500, b₄=19000.

Модель может быть использована при других взаимоотношениях спроса и предложения.

Требуется построить оптимизационную модель рынка и рассчитать объемы спроса и предложения

Построение модели рынка. В качестве неизвестного примем вектор X={x_j, j= }, каждая компонента которого характеризует объем продукции произведенной и потребляемой рынком. Соответствие названия продукта и переменной представлено в табл. 5.3. Математическая модель отраслевого рынка (5.5.1)-(5.5.8) с четырьмя потребителями и производителями (модель 4*4) представим в виде векторной задачи линейного программирования

opt F(X)={ max F₁(X)={max f₁(X) = 25x₁ + 25x₂, (5.5.9)

max f₂(X) = 30x₃+ 25x₄, (5.5.10)

max f₃(X) = 23x₅ + 30x₆, (5.5.11)

max f₄(X) = 20x₇+ 16x₈}, (5.5.12)

min F₂(X)={min f₅(X) = 60x₁ + 65x₅ , (5.5.13)

min f₆(X) = 50x₂+ 75x₆, (5.5.14)

min f₇(X) = 70x₃ + 35x₇ , (5.5.15)

min f₈(X) = 50x₄+ 40x₈}}, (5.5.16)

при ограничениях 8000 ≤60x₁ + 65x₅ ≤14000, (5.5.17)

11000 ≤ 50x₂+ 75x₆ ≤19000 (5.5.18)

10000 ≤70x₃ + 35x₇ ≤ 16500, (5.5.19)

12000 ≤ 50x₄ + 40x₈≤ 19000, (5.5.20)

35x₁+ 25x₂ ≤ 14000, (5.5.21)

40x₃+ 25x₄ ≤ 19000, (5.5.22)

42x₅+ 45x₆ ≤ 16500, (5.5.23)

15x₇+ 24x₈ ≤ 19000, (5.5.24)

x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈ ³ 0. (5.5.25)

Решение задачи линейного программирования(5.5.9)-(5.5.25) покажем в системе Matlab в соответствии с алгоритмом решения ВЗЛП на основе нормализации критериев и принципа гарантированного результата. Алгоритм представим как последовательность шагов.

Шаг 1,2. Решение по каждому критерию: наилучшее, наихудшее.

Решение по первому критерию представляет обращение к функции linprog, решающей задачу линейного программирования

В результате решения получим.

Критерий 1 - оптимальные значения переменных:

X = X1max ={x₁=250.67, x₂=276.30, x₃=37.17, x₄=31.25};

оптимальное значение целевой функции: наилучшее

f = f1max =27730.0, наихудшее f = f1min= 2100.0.

Аналогично по остальным критериям.

Критерий 2. X =X2max ={x₁=24 x₂=20 x₃=210.2 x₄=441.3},

f =f2max = 27029, f =f2min = 1780.

Критерий 3. X =X3min={x₁=134.2 x₂=179.8 x₃=30.27 x₄=120}

f =f3min =19000, f =f3max = 33000.

Критерий 4. X = X4min ={x₁=103 x₂=138.4 x₃=121.9 x₄=71.9}

f =f4min =22000, f =f4max = 35500.

Шаг 2. Выполняется анализ критериев в ВЗЛП, для чего в оптимальных точках X , X определяются величины целевых функций F(X^*)={{f_q(X ), k= }, q= } и относительных оценок (X^*)={{_q(X ), k= }, q= }.

F(X^*)=f= = ,

Определяются отклонения d_k=f -f , k= : D = [ d₁=25630 d₂=25249 d₃=-14000 d₄=-13500]; относительные оценки _k(X)= , k= .

(X^*)=L= = ,

Шаг 4. Строится и решается -задача.

^o = max ,

при ограничениях:

 - (25x₁ + 25x₂ - f )≤0,  - (30x₃+ 25x₄ - f )≤0,

 - (23x₅ + 30x₆ - f )≤0,  - (20x₇+ 16x₈ - f )≤0}, (5.5.26)

 - (60x₁ + 65x₅ - f )≤0 ,  - ( 50x₂+ 75x₆ - f )≤0,

 - (70x₃ + 35x₇ - f )≤0 ,  - (50x₄+ 40x₈ - f )≤0, (5.5.27)

8000 ≤60x₁ + 65x₅ ≤14000, 11000 ≤ 50x₂+ 75x₆ ≤19000, 10000 ≤70x₃ + 35x₇ ≤ 16500, 12000 ≤ 50x₄ + 40x₈≤ 19000, (5.5.28)

35x₁+ 25x₂ ≤ 14000, 40x₃+ 25x₄ ≤ 19000,

42x₅+ 45x₆ ≤ 16500, 15x₇+ 24x₈ ≤ 19000, (5.5.29)

x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈ ³ 0. (5.5.30)

Результаты решения -задачи: оптимальные значения переменных: Xo= {x₁= 0.4368, x₂=218.94, x₃ =42.703, x₄=20.0, x₅=326.37};

оптимальное значение целевой функции: ^o = 0.4368.

Проверка. В результате решения получим:

f₁(X^o)= 13296, f₂(X^o)= 12810, f₃(X^o)=26884, f₄(X^o)=29603,

₁(X^o)= 0.4368, ₂(X^o)= 0.4368, ₃(X^o)= 0.4368, ₄(X^o)= 0.4368,

т. е. ^o_k(X^o), k=1,2.

Эти результаты показывают, что в точке X^o оба критерия в относительных единицах достигли уровня ^o= 0.4368. Любое увеличение одного из критериев выше этого уровня приводит к уменьшению другого критерия, т.е. точка X^o оптимальна по Парето.