5.4.4. Построение модели рынка монополии

Для анализа рыночной струк­туры монополии рассмотрим представленную модель для наиболее простой ситуации, когда на рынке с одним товаром (две модификации) действуют производитель и два потребителя этого продукта, хотя модель позволяет анализировать и более крупные.

Дано. Числовые данные аналогичны модели олигополии, которая представлена в виде векторной задачи (5.4.21)-(5.4.25). Но в этой задаче будет один производитель, выпускающий два продукта.

Взаимосвязь спроса и предложения решена аналогично, как и для модели олигополии, т. е. в модели (5.4.21)-(5.4.25) с предлагаемыми числовыми параметрами, предложение превышает спрос, хотя модель может быть использована и при других взаимоотношениях спроса и предложения.

Построить оптимизационную модель рынка монополии и рассчитать объемы спроса-предложения.

Построение математической модели рынка. Модель рынка монополии с одним производителем и двумя потребителями в виде векторной задачи линейного программирования представим следующим образом:

opt F(X)={max f₁(X) = 10x₁ + 10x₂ + 10x₃+ 10x₄, (5.4.31)

min f₂ (X) = 50x₁ + 60x₃ , min f₃(X) = 50x₂+ 60x₄}, (5.4.32)

при ограничениях

3500 ≤50x₁+60x₃ ≤ 5000, 3500 ≤ 50x₂+60x₄ ≤ 5000, (5.4.33)

40x₁+ 40x₂ + 50x₃+ 50x₄ ≤ 10000, (5.4.34)

x₁, x₂, x₃, x₄  0. (5.4.35)

Исследование модели монополии, представленной в виде векторной задачи (5.4.31)-(5.4.35), проведем с учетом целенаправленности производителя и обоих потребителей, во-первых, при условии их равнозначности, во-вторых, приоритете потребителей и, в-третьих, приоритете производителя.

Решение векторной задачи (5.4.31)-(5.4.35) при равнозначных критериях.

Шаг 1,2. Решаем задачу (5.4.31)-(5.4.35) по каждому критерию.

Сначала для производителя – монополиста предоставляются наиболее благоприятные условия, т. е. при оптимизации учитываются только его целенаправленность и ограничения, накладываемые на его производственную деятельность, в результате решения получим оптимальные объемы продукции, которые в принципе может выпустить первый производитель, - X с соответствующей прибылью f =f₁(X ):

X ={x₁=100, x₂=100, x₃=0, x₄=0},

f₁(X )=2000, f₂(X )=5000, f₃(X )=5000,

X ={x₁=0, x₂=0, x₃=58.3, x₄=58.3},

f₁(X )=1166.7, f₂(X )=3500,f₃(X )=3500.

Создаются благоприятные условия для обоих потребителей последовательно, т. е. решается векторная задача (5.4.31)-(5.4.35) с критериями (5.4.32). В результате решения получим точки оптимума X и X и соответственно f_k(X^o), k= :

X ={x₁=44.66, x₂=40.51, x₃=21.12, x₄=43.07}, f₂(X )= 3500.

X ={x₁=61.54, x₂=31.9, x₃=32.04, x₄=51.07}, f₂(X )= 5000.

X ={x₁=50.1, x₂=37.038, x₃=29.57, x₄=27.46}, f₃(X )=3500.

X ={x₁=65.34, x₂=64.89, x₃=18.66, x₄= 29.25}, f₃(X )=5000.

Шаг 3. Выполняется стандартная нормализация критериев и анализ оптимальных результатов решения, полученных по каждому критерию:

f^* =[f₁(X )=2000.0 f₂(X )=5000.0 f₃(X )=5000.0

f₁(X )=1416.5 f₂(X )=3500.0 f₃(X )=4177.8

f₁(X )=1441.4 f₂(X )=4387.3 f₃(X )=3500.0].

^* = [₁(X )=1.0000 ₂(X )=0.0000 ₃(X )=0.0000

₁(X )=0.2998 ₂(X )=1.0000 ₃(X )=0.5482

₁(X )=0.3297 ₂(X )=0.4085 ₃(X )=1.0000].

Шаг 3. Построение l-задачи. Она по своей структуре аналогична задаче (5.4.26)-(5.4.30).

Шаг 4. Решение l-задачи.

l^o = 0.5814, X^o ={x₁=82.5581, x₂=82.5581, x₃= 0, x₄= 0}.

f₁(X^o) =1651.2, l₁(X^o) =0.5814,

f₂(X^o) =4127.9, l₂(X^о) =0.5814,

f₃(X^o) =4127.9, l₃(X^o) =0.5814.

r₁ =4127.9, r₂=4127.9, r₃=7430.2.

Точка X^o оптимальна по Парето - любое улучшение (увеличение) одного из них приводит к ухудшению другого.

Моделирование рынка-монополии при приоритете потребителей.

Решаем векторную задачу (5.4.31)-(5.4.35) при заданном приоритете второго и третьего критерия (потребителей) над первым критерием (производителем). Задаем вектор приоритетов P¹={p =1.3512, p =1, p =1}, который вставляется в l-задачу. В результате решения l-задачи при заданных приоритетах критериев получаем точку оптимума X^o, f_k(X^o), k= и максимальную относительную оценку l^o.

l^o = 0.6849, X^o ={x₁=79.45, x₂=79.45, x₃=0, x₄=0}.

f₁(X^o) =1589.1, l₁(X^o) =0.5069,

f₂(X^o) =3972.7, l₂(X^o) =0.6849,

f₃(X^o)=3972.7, l₃(X^o)=0.6849. l^o=p l₁(X^o)=l₂(X^o)=l₃(X^o)=0.685.

Моделирование рынка-монополии при приоритете производителя.

Решаем векторную задачу (5.4.31)-(5.4.35) при заданном приоритете первого критерия (производителя) над вторым и третьим критерием (потребителями). Задаем вектор приоритетов P¹={p =1, p =1.3512, p =1.3512}, который вставляется в l-задачу. В результате решения l-задачи при заданных приоритетах критериев получаем точку оптимума X^o, f_k(X^o), k= и максимальную относительную оценку l^o.

l^o = 0.6524, X^o ={x₁= 85.51, x₂=85.51, x₃=0, x₄=0}.

f₁(X^o) = 1710.3, l₁(X^o) =0.6524,

f₂(X^o) =4275.8, l₂(X^o) =0.4828,

f₃(X^o) = 4275.8, l₃(X^o)=0.48. l^o=p l₁(X^o)=p l₂(X^o)=p l₃(X^o)=0.65.

В рамках монополии нет разделения произведенной продукции между производителями, возможно лишь разделение продукции между потребителями.